高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 离散型随机变量的均值课文课件ppt

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1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列及其数字特征.2.能计算简单离散型随机变量的均值，并能解决一些实际问题.
通过研究离散型随机变量的分布列及其数字特征，进一步提升数学抽象及数据分析素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
上述情境中的计算是否合理，怎样运算才更合理？提示　此种计算显然不合理，忽略了不同住房面积的居民所占的比例，造成了“被平均”现象.
2.思考　某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记ξ为这颗糖果的单价(元/kg)，你能写出ξ的分布列吗？
3.填空　(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为
(2)随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX＝________________________＝____.
0×(1－p)＋1×p
(3)设X的分布列为P(X＝xi)＝ pi，i＝1，2，…，n.一般地，下面的结论成立：E(aX＋b)＝____________.温馨提醒　(1)分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平.EX刻画的是X取值的“中心位置”.(2)随机变量的分布完全确定了它的均值，两个不同的分布可以有相同的均值.
4.做一做　(1)已知离散型随机变量X的分布列为
(2)口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为__________.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1，2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数X的分布列与期望.
迁移 把本例(2)改为“若甲、乙两单位的演出序号分别为m，n，求Y＝m＋n的分布列及期望”应如何求解？解　由题意知，Y的所有可能值为3，4，5，6，7，8，9，10，11.
求离散型随机变量X的数学期望的步骤
(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0，100，120，220.
例2 已知随机变量X的分布列为：
解析　由随机变量分布列的性质， 得
迁移1 (变设问)本例条件不变，若Y＝2X－3, 求EY.
求随机变量Y＝aX＋b的均值方法(1)定义法：先列出Y的分布列，再求均值.(2)性质法：直接套用公式，EY＝E(aX＋b)＝aEX＋b，求解即可.
训练2 (1)已知随机变量X的分布列(如表所示)，Y＝2X＋1，则EY＝(　　)
(2)已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且Eη＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为(　　)
例3 新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题.多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.在某次考试中，第11、12两题的难度较大，第11题正确选项为A、D，第12题正确选项为A、B、D.甲、乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的.(1)若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为4分的概率；
(2)若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为X，乙同学的两题得分为Y，求X，Y的期望并判断谁的方案更优.解　甲同学的两题得分X的可能取值为0，2，4，
乙同学的两题得分Y的可能取值为0，2，5，7，
因为EX>EY，所以甲同学的方案更优.
解答概率模型的三个步骤(1)建模：即把实际问题概率模型化.(2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值.(3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断.
训练3 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：
将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
解　依题意得，X1的分布列为
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由.
∵EX1>EX2，∴应生产甲品牌轿车.
1.牢记两个知识点：(1)离散型随机变量的均值；(2)E(aX＋b)＝aEX＋b.2.掌握一种方法：分类讨论.3.辨清一个易错点：不能利用均值对实际问题作正确分析.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
2.在某公司的两次投标工作中，每次中标可以获利14万元，没有中标损失成本费8 000元.若每次中标的概率为0.7，每次投标相互独立，设公司这两次投标盈利为X万元，则EX＝(　　)
解析　由题意得X的可能取值为28，13.2，－1.6，P(X＝28)＝0.72＝0.49，P(X＝13.2)＝2×0.7×0.3＝0.42，P(X＝－1.6)＝0.32＝0.09，∴EX＝28×0.49＋13.2×0.42－1.6×0.09＝19.12.故选C.
3.随机变量ξ的分布列如表所示，则其数学期望Eξ＝(　　)
A.1 B.2C.3 D.不能确定解析　由分布列得a＋b＋a＝1，即2a＋b＝1，则Eξ＝a＋2b＋3a＝4a＋2b＝2(2a＋b)＝2，故选B.
4.已知离散型随机变量X的分布列为
5.(多选)设p为非负实数，随机变量X的分布列为：
6.随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数X的均值为______.
解析　抛掷一枚骰子所得点数X的分布列为
7.某人有资金10万元，准备用于投资经营甲、乙两种商品，根据统计资料：
那么他应该选择经营________种商品.
解析　投资经营甲商品获利的期望E甲＝2×0.4＋3×0.3＋(－1)×0.3＝1.4，投资经营乙商品获利的期望E乙＝1×0.6＋4×0.2＋(－2)×0.2＝1.因为E甲＞E乙.故他应该选择经营甲种商品.
8.某射手射击所得环数X的分布列如下：
已知X的均值EX＝8.9，则x的值为____________，y的值为__________.
9.某校组织一次冬令营活动，有7名同学参加，其中有4名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这7名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学.求X的分布列及数学期望.解　由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3，
所以，随机变量X的分布列为：
10.某学校在其“环保周”组织“碳达峰、碳中和”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学在两类问题中分别随机抽取一个问题进行回答.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分.小强作为本班代表参赛，已知小强能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)求小强至少答对一个问题的概率；(2)记X为小强的累计得分，求X的分布列及期望.解　用事件C表示小强至少答对一个问题.则事件C包含了3种可能性：①小强答对A类问题，答错B类问题，②小强答错A类问题，答对B类问题，③小强A类和B类均答对.
∴P(C)＝0.8×(1－0.6)＋(1－0.8)×0.6＋0.8×0.6＝0.92.故小强至少答对一个问题的概率为0.92.(2)X为小强的累计得分，X的所有可能取值为：0，20，30，50.P(X＝0)＝(1－0.8)×(1－0.6)＝0.08，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝30)＝(1－0.8)×0.6＝0.12，P(X＝50)＝0.8×0.6＝0.48，所以随机变量X的分布列为：
EX＝0×0.08＋20×0.32＋30×0.12＋50×0.48＝34，所以随机变量X的期望为34.
11.(多选)为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了了解学生对冰壶这个项目的了解情况，在北京市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：
13.水立方、国家体育馆、五棵松体育馆、首都体育馆、国家速滑馆是2022年冬奥会的比赛场馆.现有8名大学生报名参加冬奥会志愿者比赛场馆服务培训，其中1人在水立方培训，3人在国家体育馆培训，4人在五棵松体育馆培训.(1)若从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训，求所抽调的2人来自不同场馆的概率；
(2)若从中一次抽调3名大学生志愿者到首都体育馆培训，要求这3人中来自水立方的人数和来自国家体育馆的人数都不超过来自五棵松体育馆的人数.设从五棵松抽出的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.
14.某单位有员工50 000人，一保险公司针对该单位推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把该单位的所有岗位分为A，B，C三类工种，从事三类工种的人数分布比例如饼图所示，且这三类工种每年的赔付概率如下表所示：
对于A，B，C三类工种，职工每人每年保费分别为a元，a元，b元，出险后的赔偿金额分别为100万元，100万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20万元.(1)若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的15%，证明：153a＋17b≥4 200.
证明　设工种A，B，C对应职工的每份保单保险公司的收益分别为随机变量X，Y，Z(单位：元)，则X，Y，Z的分布列分别为
所以(a－10)×50 000×0.6＋(a－20)×50 000×0.3＋(b－50)×50 000×0.1－20×104≥(a×50 000×0.6＋a×50 000×0.3＋b×50 000×0.1)×0.15，整理得153a＋17b≥4 200.
(2)现有如下两个方案供单位选择：方案一：单位不与保险公司合作，职工不交保险，出意外后单位自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外的职工，单位开展这项工作的固定支出为每年35万元；方案二：单位与保险公司合作，a＝25，b＝60，单位负责职工保费的80%，职工个人负责20%，出险后赔偿金由保险公司赔付，单位无额外专项开支.根据该单位总支出的差异给出选择合适方案的建议.
方案二：单位与保险公司合作，则单位支出金额为(30 000×25＋15 000×25＋5 000×60)×0.8＝1.14×106(元).因为1.2×106>1.14×106，所以建议单位选择方案二.