北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.5 两条直线的交点坐标图文ppt课件

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第一章 直线与圆
1.5　两直线的交点坐标
课标要求
1.了解两条直线交点的概念.2.掌握用解方程组求两条直线的交点的方法.3.能利用直线的交点解决直线过定点及三线共点等问题.
素养要求
通过求解两直线的交点坐标，提升数学运算、数学抽象的核心素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、两直线的交点1.思考　直线x＝1与y＝－2是否相交？若相交，求出交点坐标. 提示　如图，相交，交点P(1，－2).
提示　直线l1，l2的图象如图所示.点M既在直线l1上，也在直线l2上.满足直线l1的方程x＋y－5＝0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0.
2.思考　已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？
3.填空　一般地，对于两条不重合的直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
斜率(斜率存在时)
交点坐标
温馨提醒　两条直线相交的判定方法：(1)联立直线方程，解方程组，若只有一解，则两直线相交；(2)两直线斜率都存在且斜率不相等；(3)两直线的斜率一个存在，另一个不存在.
C
4.做一做　(1)直线x－y＋2＝0与直线x＋y－8＝0的交点坐标为(　　) A.(3，－5) B.(－3，5) C.(3，5) D.(－3，－5)
B
(2)直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为(　　)A.12 B.10 C.－8 D.－6解析　∵直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1).∴将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0，得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5.将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0，得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5.∴m＋n＝10.
二、过两直线交点的直线方程1.思考　观察下面的图象，发现直线都经过点M(4，1)，怎么表示出经过M点的直线方程？
提示　当斜率存在时，y－1＝k(x－4)(k∈R)；当斜率不存在时，x＝4.
2.填空　(1)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)，或___________________________________________________________. (2)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则x，y的系数满足____________________. 温馨提醒　求过两直线交点的直线方程的方法： (1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. (2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线系方程，A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，再结合已知条件用待定系数法求出参数.
A2x＋B2y＋C2＋λ(A1x＋B1y＋C1)＝0(不包括直线A1x＋B1y＋C1＝0)
A1B2≠A2B1
3.做一做　(1)已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是________. 解析　由题意得6a－12≠0，即a≠2.
a≠2
2x＋y－4＝0
(2)斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________________.
解析　设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，
∴所求直线方程为2x＋y－4＝0.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点. (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1).
两条直线相交的判定方法联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交；若有无数解，则重合；若无解，则平行.
特别提醒　在判定两直线是否相交时，要特别注意斜率不存在的情况.
训练1 判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出交点坐标. (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.
所以直线l1与l2垂直相交，交点坐标为(－1，－1).
①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解.所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2.
即①和②表示同一条直线，l1与l2重合.
例2 求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程.
即l1与l2的交点坐标为(－1，2).
即5x＋3y－1＝0.法二　由于直线l⊥l3，故设直线l为5x＋3y＋C＝0.又直线l过直线l1，l2的交点(－1，2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，解得C＝－1，故直线l的方程为5x＋3y－1＝0.
法三　由于直线l过直线l1，l2的交点，故直线l满足3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.
则直线l的方程为5x＋3y－1＝0.
迁移 本例变为求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且过原点的直线l′的方程. 解　设所求直线方程为 3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0， 将(0，0)代入上式，解得λ＝1， ∴所求直线方程为8x＋4y＝0， 即2x＋y＝0.
求过两直线交点的直线方程的两种方法(1)求出交点坐标，根据题意求出相关直线的方程；(2)用直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示，根据题意求出λ，化简即可.
训练2 (1)不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(　　) A.(－3，－1) B.(－2，－1) C.(－3，1) D.(－2，1) 解析　直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，
C
∴直线l恒过定点(－3，1).
(2)求过直线l1：3x＋2y－7＝0与l2：x－y＋1＝0的交点，且平行于直线5x－y＋3＝0的直线方程.
法二　设所求直线方程为3x＋2y－7＋λ(x－y＋1)＝0，即(λ＋3)x＋(2－λ)y－7＋λ＝0.∵所求直线与5x－y＋3＝0平行，
例3 已知A(1，4)，B(－2，－1)，C(4，1)是△ABC的三个顶点，求证：△ABC的三条高所在的直线交于一点.
又AC边上的高所在的直线方程为y＝x＋1，
故△ABC的三条高所在的直线交于一点.
证明平面几何中的三条直线交于一点的基本思路：先求其中两条直线的交点坐标，然后证明这一点在第三条直线上.
训练3 已知m为实数，设直线l1的方程为2x＋my＝1，直线l2的方程为mx＋8y＝m－2. (1)若l1与l2平行，求m的值；
解　∵l1与l2平行，
解得m＝－4.
(2)当l1与l2相交时，用m表示交点A的坐标，并证明点A一定在某一条定直线上.
因此，点A在直线x－2y－1＝0上.
课堂小结
1.牢记两个知识点：(1)求两直线的交点；(2)相交直线系过定点问题.2.掌握两种方法：消元法和待定系数法.3.辨清一个易错点：在直线的一般式方程中利用A1B2≠A2B1判断两直线相交.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
B
2.已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝(　　) A.－4 B.20 C.0 D.24
A
3.方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线(　　) A.恒过定点(－2，3) B.恒过定点(2，3) C.恒过点(－2，3)和点(2，3) D.都是平行直线 解析　(a－1)x－y＋2a＋1＝0可化为－x－y＋1＋a(x＋2)＝0，
A
4.若直线2x＋3y－k＝0与直线x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则k的值为(　　) A.－24 B.6 C.±6 D.24
C
5.(多选)若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0不能围成三角形，则a的取值可以为(　　 ) A.1 B.－1 C.－2 D.2
ABC
6.三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10，2x－y＝10相交于一点，则实数a的值为________.
-1
把(4，－2)代入直线ax＋2y＋8＝0，可得4a－4＋8＝0，解得a＝－1.
7.过两直线2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为_______________.
3x＋y＝0
则所求直线的方程为y＋3＝－3(x－1)，即3x＋y＝0.
9.若两条直线l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交点在第四象限，求k的取值范围.
10.已知直线l1：2x－y＋1＝0和l2：x－y－2＝0的交点为P. (1)若直线l经过点P且与直线l3：4x－3y－5＝0平行，求直线l的方程；
(2)若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，P为线段AB的中点，求△OAB的面积(其中O为坐标原点).
A
二、能力提升
12.(多选)两直线(m＋2)x－y＋m＝0，x＋y＝0与x轴相交且能构成三角形，则m不能取到的值有(　　 ) A.－3 B.－2 C.－1 D.0 解析　由题知，三条直线中任意两条均有交点，且三条直线不能经过同一点.
ABD
13.已知在平行四边形ABCD中，A(1，1)，B(7，1)，D(4，6)，点M是边AB的中点，CM与BD交于点P. (1)求直线CM的方程；
(2)求点P的坐标.
14.已知两直线l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0. (1)求直线l1与l2的交点P的坐标；
三、创新拓展
所以点P的坐标为(－2，1).
(2)求过l1，l2交点P，且在两坐标轴截距相等的直线方程；
解　设所求直线为l，①当直线l在两坐标轴截距为不零时，
综上，直线l的方程为x＋y＋1＝0或x＋2y＝0.
(3)若直线l3：ax＋2y－6＝0与l1，l2不能构成三角形，求实数a的值.
解　①当l3与l1平行时不能构成三角形，此时：a×(－2)－2×1＝0，解得a＝－1；
③当l3过l1，l2的交点时不能构成三角形，此时：a·(－2)＋2×1－6＝0，解得a＝－2.