2021学年1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系课文配套免费ppt课件

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第二课时　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系课标要求　1.理解直线的倾斜角与斜率的关系.2.了解直线的方向向量.3.会应用倾斜角与斜率的关系解决简单的综合问题.素养要求　通过直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系，提升学生的直观想象素养.一、倾斜角、斜率的范围1.思考　对于倾斜角不为的两条直线，其倾斜角相等，斜率就相等吗？反之，斜率相等，倾斜角相等吗？提示　倾斜角不为的两直线，倾斜角相等、斜率也相等；反之也成立.2.思考　当直线的倾斜角由0逐渐增大到π，其斜率如何变化？为什么？提示　如图，根据正切函数的图象变化可知，当倾斜角为锐角时，斜率为正，斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，斜率随着倾斜角的增大而增大.当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在.3.填空　(1)直线的斜率k与倾斜角α满足k＝tan__α.(2)斜率k与倾斜角α有如下关系：当α∈时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大；当α∈时，斜率k<0，且k随倾斜角α的增大而增大.当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在.温馨提醒　斜率和倾斜角都反映了直线的倾斜程度，其中k＝tan α，当α＝时，直线的斜率不存在.4.做一做　(1)直线l经过原点和(1，－1)，则它的倾斜角是(　　)A.45°   B.60°  C.120°   D.135°答案　D解析　设倾斜角为α，则tan α＝＝－1，因为0°≤α<180°，所以α＝135°.(2)若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y＝(　　)A.－   B.  C.－1   D.1答案　C解析　由已知，得＝tan 45°＝1，故y＝－1.二、直线的方向向量与斜率1.思考　如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，试写出直线l的一个方向向量.提示　直线l的一个方向向量为2＝(x2－x1，y2－y1).2.思考　若直线l的一个方向向量u＝(a，b)(a≠0)，斜率为k，那么k与u具有怎样的关系？提示　k＝.3.填空　(1)在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，向量2是直线l的方向向量，它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量2之间的关系是k＝＝tan__α(其中x1≠x2).(2)若k是直线l的斜率，则ν＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝.温馨提醒　若直线l的一个方向向量为a＝(u，v)，则①当u＝0时，直线l的斜率不存在，倾斜角为；②当u≠0时，直线l的斜率k＝.4.做一做　(1)若直线l的一个方向向量为ν＝(1，3)，则直线l的斜率为(　　)A.   B.3C.－3   D.－答案　B解析　k＝＝3，故选B.(2)一条直线的斜率等于，则此直线的倾斜角等于________，其中一个方向向量为________.答案　30°　解析　k＝tan α＝，又0°≤α＜180°，故α＝30°，其中一个方向向量可以为.题型一　倾斜角、斜率的范围例1 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点.求直线l的斜率k的取值范围.解　如图，由题意知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞).迁移1 本例条件不变，求直线l的倾斜角α的取值范围.解　由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是[45°，135°].迁移2 本例条件中“与线段AB有公共点”改为“与线段AB无公共点”.求直线l的斜率k的取值范围.解　由本例知与线段AB有公共点时，斜率k满足k≤－1或k≥1.则与线段AB无公共点时斜率k的取值范围为(－1，1).迁移3 本例条件改为点(x，y)在函数y＝－x＋3的图象上，当x∈[－3，3]时，求的取值范围.解　表示连接两点(x，y)和(1，0)的直线的斜率，解析过程见本例1.思维升华　解决取值范围问题的基本方法——数形结合.斜率k的大小与正切函数之间的关系是用倾斜角α来联系的，因此，可以由倾斜角的变化得出斜率的变化.如图所示，过点P的直线l与线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而直线PC与线段AB不相交，所以直线l的斜率k的取值范围是kPA≤k≤kPB.训练1 已知直线l过点P(－1，2)，且与以A(－2，－3)，B(3，0)为端点的线段相交，求直线l的斜率k的取值范围.解　作出直线PA，PB及线段AB，如图所示.则kPA＝＝5，kPB＝＝－.当直线l从直线PA转到与y轴平行的直线PC的位置的过程中，直线l的斜率k从5趋向于正无穷大，即k∈[5，＋∞).当直线l从直线PC转到直线PB的位置的过程中，直线l的斜率k从负无穷大开始增大到－，即k∈.综上，直线l的斜率k的取值范围为∪[5，＋∞).题型二　直线方向向量的应用例2 (多选)已知直线l的一个方向向量为(5，8)，且该直线过点(1，2)，则直线l过点(　　)A.(6，10)   B.(2，4)C.(－4，－6)   D.答案　AC解析　由题意知，直线l的斜率为k＝，设l上一点P(x，y)，则＝(x≠1)，将选项点的坐标代入此方程，选项A，C成立，故选AC.思维升华　(1)斜率不存在时直线的方向向量a＝(0，k)；(2)斜率存在时直线的方向向量a＝(1，k)；(3)任意直线的方向向量可表示为a＝(cos θ，sin θ).训练2 经过A(0，2)，B(－1，0)两点的直线的方向向量为(1，k)，求k的值.解　∵直线的方向向量为(1，k)，则k为直线的斜率，∴k＝＝2，∴k的值为2.题型三　斜率与倾斜角、方向向量的综合应用例3 已知直线l1的方向向量为n＝(2，1)，直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的2倍.(1)求直线l2的斜率；(2)若直线l2经过点A(－1，2)，B(2，m)，点P(x，y)是线段AB上一点.求的取值范围.解　(1)设直线l1的倾斜角为α，则直线l2的倾斜角为2α.∵直线l1的方向向量为n＝(2，1)，∴直线l1的斜率为tan α＝，∴直线l2的斜率为tan 2α＝＝.(2)由(1)知l2的斜率为，∴＝，得m＝6.表示过点P(x，y)和点Q(0，－1)的直线的斜率，kQA＝＝－3，kQB＝＝，∴kPQ≤－3或kPQ≥.故的取值范围是(－∞，－3]∪.思维升华　(1)直线的倾斜角与斜率、方向向量的关系为k＝＝tan α.(2)求代数式最值或范围的方法由斜率公式k＝的形式，可知代数式的几何意义是过P(x，y)与P′(a，b)两点的直线的斜率，故可以利用数形结合来求解.训练3 (多选)若直线l的倾斜角为钝角，则下列向量能作为l的方向向量的是(　　)A.a＝(2，1)   B.a＝(－2，1)C.a＝(1，－2)   D.a＝(0，1)答案　BC解析　因为直线l的倾斜角为钝角，则k<0，所以l的方向向量的纵横坐标符号相反，故选BC.[课堂小结]1.牢记两个知识点：2.掌握一种思想：数形结合.3.辨清一个易错点：对正切函数在和上的单调性不熟悉，导致求直线斜率范围时出现错误.一、基础达标1.一条直线过点A(－1，0)和B(2，3)，则该直线的倾斜角为(　　)A.30°   B.45°C.135°   D.150°答案　B解析　设直线AB的倾斜角为α，则tan α＝＝1，∵0°≤α<180°，∴α＝45°，故选B.2.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)A.k1＜k3＜k2   B.k3＜k1＜k2C.k1＜k2＜k3   D.k3＜k2＜k1答案　A解析　设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图知0°＜α3＜α2＜90°＜α1＜180°，∴tan α1＜0，tan α2＞tan α3＞0，即k1＜0，k2＞k3＞0，故选A.3.(多选)在下列四个命题中，错误的有(　　)A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B.若一条直线的倾斜角为，则直线的一个方向向量的坐标为(0，1)C.若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αD.若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α答案　ACD解析　对于A，当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，所以A错误；对于B，直线的倾斜角为，斜率不存在，故a＝(0，1)可以作为直线的一个方向向量，故B正确；对于C，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，如y＝x的斜率为tan ，它的倾斜角为，所以C错误；对于D，一条直线的倾斜角为α时，它的斜率为tan α或不存在，所以D错误.4.过两点A(1，y)，B(2，－3)的直线的方向向量为(1，－1)，则y的值为(　　)A.2   B.－2C.－5   D.5答案　B解析　由题意得＝(2，－3)－(1，y)＝(1，－3－y)＝(1，－1)，∴－3－y＝－1，∴y＝－2.故选B.5.(多选)已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为(　　)A.(0，1)   B.(－1，0)C.(3，0)   D.(0，－3)答案　CD解析　若设点P的坐标为P(x，0)，则k＝＝tan 45°＝1，∴x＝3，即P(3，0).若设点P的坐标为P(0，y)，则k＝＝tan 45°＝1，∴y＝－3，即P(0，－3).故选CD.6.已知直线l的斜率为－，则直线l的倾斜角为________；l的一个方向向量的坐标为________.答案　　(1，－)(答案不唯一)解析　设直线l的倾斜角为α，则tan α＝－，又α∈[0，π)，∴α＝.方向向量可以为(1，－)，(－1，)等，答案不唯一.7.一个方向向量为(，2)的直线过(3，5)，(a，7)，(－1，b)三点，则a＋b＝________.答案　1解析　由题意k＝＝2，则2＝＝，∴a＝4，b＝－3，∴a＋b＝1.8.已知直线l的倾斜角的范围是，则直线l的斜率的取值范围是________.答案　{k|k≤－1或k≥1}解析　当倾斜角α＝时，l的斜率不存在；当α∈时，l的斜率k＝tan α∈[1，＋∞)；当α∈时，l的斜率k＝tan α∈(－∞，－1].9.已知点A(1，2)，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜角为60°.解　①当点P在x轴上时，设点P(a，0).又A(1，2)，∴直线PA的斜率k＝＝.又直线PA的倾斜角为60°，∴tan 60°＝，解得a＝1－，∴点P的坐标为.②当点P在y轴上时，设点P(0，b)，同理可得b＝2－，∴点P的坐标为(0，2－).故所求点P的坐标为或(0，2－).10.已知坐标平面内两点M(m＋3，2m＋5)，N(2m－1，1).(1)当m为何值时，直线的倾斜角为锐角；(2)若直线的方向向量为a＝(0，－2 021)，求m的值.解　(1)倾斜角θ为锐角，则k＝tan θ>0，又k＝＝>0，即(m＋2)(m－4)<0，解得－2<m<4.(2)直线的方向向量为a＝(0，－2 021)，∴直线的斜率不存在，故过M，N两点的直线垂直于x轴，∴m＋3＝2m－1，即m＝4.二、能力提升11.(多选)若经过A(1－a，1＋a)和B(3，a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值不可能为(　　)A.－3   B.－2  C.1   D.2答案　AB解析　kAB＝＝<0，即2＋a>0，所以a>－2，CD满足，故选AB.12.已知直线l过点P(0，－1)且与线段AB有交点，其中A(2，1)，B(1，－2)，则直线l的斜率k的取值范围是________，倾斜角α的取值范围是________.答案　[－1，1]　∪解析　kPA＝＝1，kPB＝＝－1，∵直线l与连接A(2，1)，B(1，－2)的线段总有公共点，∴kPB≤kl≤kPA，∴－1≤k≤1.∴直线l的斜率k的取值范围是[－1，1].∵k＝tan α，∴－1≤tan α≤1，∴≤α<π或0≤α≤，∴倾斜角α的取值范围是∪.13.已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1).(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围.解　(1)由斜率公式得kAB＝＝0，kBC＝＝，kAC＝＝.∵tan 0°＝0，∴直线AB的倾斜角为0°.∵tan 60°＝，∴直线BC的倾斜角为60°.∵tan 30°＝，∴直线AC的倾斜角为30°.(2)如图所示，当直线CD绕点C旋转时，斜率k变化，当直线CD由CA按逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即点D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，∴k的取值范围为.三、创新拓展14.已知函数f(x)＝log3(x＋2)，若a>b>0>c>－1，则，，的大小关系为(　　)A.>>   B.>>C.<<   D.<<答案　B解析　作出函数f(x)＝log3(x＋2)的大致图象，如图，由题意可得，，，可以分别看作函数f(x)＝log3(x＋2)图象上的点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))与原点连线的斜率，结合图象可知当a>b>0>c>－1时，>>，故选B.