高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.3 直线的方程授课课件ppt

第三课时　直线方程的一般式

课标要求　1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.

素养要求　通过直线方程的相互转化提升学生逻辑推理素养.

1.思考　直线y＝2x＋1可以化为Ax＋By＋C＝0的形式吗？方程2x＋y－3＝0表示直线吗？

提示　y＝2x＋1可以化为2x－y＋1＝0的形式，可以化为二元一次方程.2x＋y－3＝0可以化为y＝－2x＋3，表示直线.

2.思考　方程Ax＋By＋C＝0中，A，B，C满足什么条件时，表示直线.

提示　A，B不全为0.

3.填空　(1)我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)称为直线的一般式方程，简称一般式.

(2)直线方程五种形式的比较

温馨提醒　(1)在没有特殊要求的情况下，直线方程写成一般式；

(2)在一般式中通常按含x项，含y项，常数项的顺序排列；

(3)x项的系数为正，x，y的系数和常数项一般互质.

4.做一做　(1)在平面直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　)

A.30°   B.60°

C.150°   D.120°

答案　C

解析　直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C.

(2)直线5x－2y－10＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则a＋b＝(　　)

A.7   B.3  C.－3   D.－7

答案　C

解析　直线5x－2y－10＝0化为截距式方程为＋＝1，∴a＝2，b＝－5，则a＋b＝2－5＝－3，故选C.

题型一　求直线的一般式方程

例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：

(1)斜率是，且经过点A(5，3)；

(2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；

(3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1；

(4)经过点B(4，2)，且平行于x轴.

解　(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)，即x－y－5＋3＝0.

(2)由两点式，得直线方程为＝，即2x＋y－3＝0.

(3)由截距式，得直线方程为＋＝1，

即x＋3y＋3＝0.

(4)y－2＝0.

思维升华　求直线一般式方程的策略

在求直线方程时，直接设一般式方程有时并不合适，常用的还是根据给定条件选择合适的方程求解形式，然后转化为一般式.

训练1 求适合下列条件的直线的一般式方程：

(1)经过点A(2，－3)，并且其倾斜角等于直线x－y＋1＝0的倾斜角的2倍的直线方程.

(2)求经过点A(－2，2)并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程.

解　(1)因为直线x－y＋1＝0的斜率为，所以其倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为，又所求直线经过点A(2，－3)，所以其方程为y＋3＝(x－2)，即x－y－3－2＝0.

(2)设直线方程为＋＝1，

则解得或

故所求的直线方程为x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.

题型二　直线方程的一般式的应用

例2 设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值：

(1)l在x轴上的截距是－3；

(2)l的斜率是－1.

解　(1)当直线在x轴上的截距为－3时，有＝－3，且m2－2m－3≠0解得m＝－.

(2)当斜率为－1时，有－＝－1，且2m2＋m－1≠0解得m＝－2.

思维升华　已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤

训练2 直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).

(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求实数a的值；

(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.

解　(1)①当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意；

②当a≠－1时，令x＝0，则y＝a－2，

令y＝0，则x＝.

∵l在两坐标轴上的截距相等，

∴a－2＝，解得a＝2或a＝0.

综上，实数a的值为2或0.

(2)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2，故要使l不经过第二象限，只需解得a≤－1.

∴实数a的取值范围为(－∞，－1].

[课堂小结]

1.牢记两个知识点：①直线的一般式方程；②五种形式直线方程的成立条件和相互转化.

2.掌握两种思想方法：数形结合和转化的思想.

3.辨清一个易错点：方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A2＋B2≠0.

一、基础达标

1.直线2x－y＋1＝0在x轴上的截距是(　　)

A.1   B.－1 

C.－   D.

答案　C

解析　令y＝0，则x＝－，故选C.

2.直线的一个方向向量为a＝(1，－3)，且经过点(0，2)，则直线的方程为(　　)

A.3x－y＋2＝0   B.3x＋y－2＝0

C.3x＋y＋2＝0   D.3x－y－2＝0

答案　B

解析　∵直线的方向向量为a＝(1，－3)，∴k＝－3，∴直线的方程为y＝－3x＋2，即3x＋y－2＝0.

3.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是(　　)

答案　C

解析　将l1与l2的方程化为斜截式得：

y＝ax＋b，y＝bx＋a，

根据斜率和截距的符号可得选C.

4.若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为(　　)

A.－2   B.2 

C.－3   D.3

答案　D

解析　∵直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，∴＝tan 45°＝1且m2－4≠0，解得m＝3.

5.(多选)下列说法中正确的是(　　)

A.平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示

B.当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的直线过原点

C.当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与x轴平行

D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化

答案　ABC

解析　A说法正确，因为在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α，当α≠90°时，直线的斜率k存在，其方程可写成y＝kx＋b，它可变形为kx－y＋b＝0，与Ax＋By＋C＝0比较，A＝k，B＝－1，C＝b；当α＝90°时，直线的斜率不存在，其方程可写成x－x1＝0，与Ax＋By＋C＝0比较，A＝1，B＝0，C＝

－x1，显然A，B不同时为0，所以此说法是正确的；B说法正确，当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，即Ax＋By＝0，显然有A·0＋B·0＝0，即直线过原点O(0，0)；C说法正确，当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可化为y＝－，它表示的直线与x轴平行，D说法显然错误.

6.直线x＋y＋2＝0的倾斜角为________.

答案　

解析　把方程x＋y＋2＝0化为y＝－x－2，则斜率为k＝－，所以倾斜角为.

7.已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________.

答案　－

解析　把(3，0)代入已知方程，得(a＋2)×3－2a＝0，∴a＝－6，∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，令x＝0，得y＝－.

8.已知直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点分别为A，B，如果△AOB的面积(O为坐标原点)不大于1，那么b的取值范围是________.

答案　[－1，0)∪(0，1]

解析　令x＝0，得y＝b; 令y＝0，得x＝－2b.∵△AOB的面积(O为坐标原点)不大于1，∴△AOB的面积S＝|b|×|－2b|＝b2≤1.∵当b＝0时，A，O，B三点重合，构不成三角形，∴b≠0，∴－1≤b<0或0<b≤1.

9.设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：

(1)直线l的斜率为－1；

(2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.

解　(1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2，由题意得－＝－1，解得k＝5.

(2)直线l的方程可化为＋＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.

10.若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线.

(1)求实数m需满足的条件；

(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值.

解　(1)由

解得m＝2.

又方程表示直线时，m2－3m＋2与m－2不同时为0，故m≠2.

(2)由题意知，m≠2，

由－＝1，解得m＝0.

二、能力提升

11.已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为(　　)

A.－，－1   B.，－1

C.－，1   D.，1

答案　A

解析　原方程化为＋＝1，∴＝－1，∴b＝－1.

又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a，

且x－y－＝0的倾斜角为60°，

∴k＝tan 120°＝－，∴a＝－，故选A.

12.若pr<0，qr<0，则直线px＋qy＋r＝0不经过(　　)

A.第一象限   B.第二象限

C.第三象限   D.第四象限

答案　C

解析　若r>0，则p<0，q<0，－<0，－>0，直线y＝－x－不过第三象限；若r<0，则p>0，q>0，－<0，－>0，直线y＝－x－不过第三象限.综上，直线px＋qy＋r＝0不过第三象限.

13.已知直线l：x＋ay－a－1＝0(a∈R).

(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；

(2)若直线l与y轴所成的角为30°，求a的值.

解　(1)由题意a≠0，令x＝0，y＝，

令y＝0，x＝a＋1，由＝a＋1，得a＝1或－1，

综上，a的值为－1或1.

(2)∵直线l与y轴所成的角为30°，

∴直线l与x轴所成的角为60°或120°，

即直线l的倾斜角为60°或120°，

∴直线l的斜率存在，∴a≠0，

又∵直线l的斜率为－，

∴－＝tan 60°＝或－＝tan 120°＝－，∴a＝－或.

三、创新拓展

14.已知直线l过点P(0，－1)，

(1)试从以下三个条件中任选一个条件，写出直线l的方程.

①l的倾斜角为，②l的一个方向量为(1，)，③点A(，2)在直线l上.

(2)在(1)的条件下，画出直线l，并在直线l外取若干点，将这些点的坐标代入式子x－y－1，求它的值；观察有什么规律，并把这个规律表示出来.

(3)试利用(2)中的结论，若过P(0，－1)的直线l1与连接C(1，－2)，B(2，1)两点的线段总有公共点，求直线l1的斜率k的取值范围.

解　(1)若选①，可得l的斜率k＝，则l的方程为y＋1＝x，即x－y－1＝0.

若选②，可得l的斜率k＝，方程同①，

若选③，可得l的斜率k＝＝，方程同①.

(2)l的图象如图，取点O(0，0)，(1，6)，(3，－1)，(，2)，把点代入x－y－1可得如下规律：在直线左边的点，坐标代入x－y－1，值小于0；

在直线右边的点，坐标代入x－y－1，值大于0；

在直线上的点，坐标代入x－y－1，值等于0.

(3)设l1的方程为y＋1＝k(x－0)，即kx－y－1＝0，利用(2)的结论可知点C，B分别在直线l1的两侧(k＋1)(2k－2)≤0，所以k的取值范围是[－1，1].