北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 空间向量运算的坐标表示及其应用课前预习ppt课件

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1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系.
利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系，判定直线、平面的平行关系，培养学生的数学运算、直观想象素养和逻辑推理素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1.思考　设直线l，m的方向向量分别为l，m，平面α，平面β的法向量分别为n1，n2，若l∥m，l∥α，α∥β，那么其方向向量与法向量具有怎样的关系？提示　l∥m⇒l∥m，l∥α⇒l⊥n1，α∥β⇔n1∥n2.2.思考　能否用向量法证明平行关系？如何证明？提示　可以.l∥m且l与m不重合⇔l∥m；l⊥n1，且l⊄α⇔l∥α；n1∥n2且α与β不重合⇔α∥β.
3.填空　设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则l∥m或l与m重合⇔________；l∥α或l⊂α⇔__________；α∥β或α与β重合⇔n1∥n2.4.做一做　(1)判断正误①两直线的方向向量平行，则两直线平行.( )提示　两直线的方向向量平行，这两直线可能重合，故错误.②若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行.( )③若两个平面平行，则这两个平面的法向量一定平行.( )
(2)若两个不重合平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－1)，v＝(－3，－6，3)，则(　　)A.α∥βB.α⊥βC.α，β相交但不垂直D.以上均不正确解析　∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝3，|AD|＝4，|AA1|＝2，点M在棱BB1上，且|BM|＝2|MB1|，点S在DD1上，且|SD1|＝2|SD|，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS.
又∵R∉MN，∴MN∥RS.
法二　如图所示，建立空间直角坐标系A－xyz，则根据题意得
证明线线平行的两种思路
训练1 长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且|D1E|＝2|EB1|，|BF|＝2|FA1|.求证：EF∥AC1.证明　如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设|DA|＝a，|DC|＝b，|DD1|＝c，则A(a，0，0)，
又FE与AC1不共线，∴EF∥AC1.
例2 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，|PD|＝|DC|，E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB.证明　如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设|PD|＝|DC|＝a.连接AC，交BD于点G，连接EG，.
令z＝1，则x＝1，y＝－1，
又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.
法二　因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，
又EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.
所以PA∥平面EDB.
解　以A为坐标原点，分别以直线AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图.
∴(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝2(y－1)＝0，
∴E是PD的中点，即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB.
利用空间向量证明线面平行的三种方法：方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基表示.方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理求证.方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
训练2 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1.
证明　如图以A为坐标原点AC，AA1所在直线为y，z轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的底面边长为a(a>0)，侧棱长为b(b>0)，则A(0，0，0)，
设平面DBC1的法向量为n＝(x，y，z)，
不妨令y＝2b，则n＝(0，2b，－a).
例3 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点.求证：平面AMN∥平面EFDB.
证明　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，A1(a，0，a)，D1(0，0，a)，B1(a，a，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a).
设平面AMN与平面EFDB的法向量分别为m＝(x1，y1，z1)和n＝(x2，y2，z2)，
∴y1＝－x1＝－2z1.取z1＝1，则x1＝2，y1＝－2.∴平面AMN的一个法向量为m＝(2，－2，1).同理可得平面EFDB的一个法向量为n＝(2，－2，1).∵m＝n，∴m∥n，∴平面AMN∥平面EFDB.
证明面面平行问题的思路①转化为相应的线线平行或线面平行；②分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行.
训练3 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：平面ADE∥平面B1C1F.证明　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，
令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1，2).同理，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量，
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2).因为n1＝n2，即n1∥n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
1.牢记一个知识点：利用空间向量证明平行关系方法；2.掌握一种方法：转化与化归；3.辨清一个易错点：利用向量判定线面平行时，易忽略直线不在平面内这个条件.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.已知平面α的一个法向量为(1，2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(　　)A.2 B.－4 C.4 D.－2
2.若直线l的一个方向向量为a＝(2，5，7)，平面α的一个法向量为u＝(1，1，－1)，则(　　)A.l∥α或l⊂α B.l⊥αC.l⊂α D.l与α斜交解析　由条件知a·u＝2×1＋5×1＋7×(－1)＝0，所以a⊥u，故l∥α或l⊂α.故选A.
3.已知两平行直线的方向向量分别为a＝(4－2m，m－1，m－1)，b＝(4，2－2m，2－2m)，则实数m的值为(　　)A.1B.3C.1或3D.以上答案都不正确
解析　由题意知a∥b.因为b＝(4，2－2m，2－2m)≠0，所以“a∥b的充要条件是a＝λb”，
综上，m的值为1或3.
4.(多选)若直线l的方向向量为a，l不在平面α内，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(　　)A.a＝(1，0，0)，n＝(0，－2，0)B.a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)C.a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)D.a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)
解析　若l∥α，则a·n＝0.A中a·n＝0，B中a·n＝1＋5＝6，C中，a·n＝－1，D中a·n＝－3＋3＝0，故选AD.
6.已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________.解析　∵l⊥α，v∥α，∴u⊥v，∴(1，3，z)·(3，－2，1)＝0，即3－6＋z＝0，z＝3.
8.已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则β与α的位置关系是______.
证明　法一　以D为原点，DA，DC，DD′所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则D(0，0，0)，C(0，2，0)，A(2，0，0)，D′(0，0，2)，M(2，1，1)，N(1，1，2)，
因为MN不在平面AD′内，所以MN∥平面AD′.
10.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个表面的中心，证明：平面EFG∥平面HMN.
证明　如图所示，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.不妨设正方体的棱长为2，则E(1，1，0)，F(1，0，1)，G(2，1，1)，H(1，1，2)，M(1，2，1)，N(0，1，1).
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面EFG和平面HMN的法向量，
令x1＝1，得m＝(1，－1，－1).
令x2＝1，得n＝(1，－1，－1).于是有m＝n，所以m∥n，故平面EFG∥平面HMN.
12.已知向量n＝(2，－4，－2)，m＝(－1，2，1)分别是两个不同平面α，β的法向量，可得向量n与m的数量关系是____________，进而得到平面α与β的位置关系是________.
解析　∵向量n＝(2，－4，－2)，m＝(－1，2，1)，可得向量n与m的关系是n＝－2m，故平面α与β的位置关系是平行.
证明　如图，以D为原点，以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则有关点及向量的坐标为：P(0，0，2)，C(0，2，0)，G(1，2，0)，E(0，1，1)，F(0，0，1)，A(2，0，0)，
设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z).
令x＝1，则z＝1，∴n＝(1，0，1).
14.如图所示，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，|PA|＝|AD|，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点.(1)求证：MN∥平面PAD；
证明　如图所示，以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设B(b，0，0)，D(0，d，0)，P(0，0，d).则C(b，d，0)，因为M，N分别是PC，AB的中点，
因为平面PAD的一个法向量为m＝(1，0，0)，
又因为MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD.
(2)求证：平面QMN∥平面PAD.
又QN不在平面PAD内，所以QN∥平面PAD.又因为MN∩QN＝N，MN，QN⊂平面MNQ，所以平面MNQ∥平面PAD.