高中北师大版 (2019)4.2 直线与圆锥曲线的综合问题授课课件ppt

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第三章 空间向量与立体几何
第二课时　空间中的距离问题
课标要求
1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题.2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
素养要求
通过学习空间中距离的概念，点、线、面距离的相互转化与计算，培养学生的数学抽象、直观想象素养和数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、点到平面的距离1.思考　设点P是平面α外一点，点A是平面α内的已知点，n0是平面α的单位法向量，如何求平面α外一点P到平面α的距离？
温馨提醒　(1)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.(2)如果直线与平面平行，则转化为直线上任一点到平面的距离.
D
(2)设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为________.
二、点到直线的距离1.思考　直线l外一点P到直线l距离有几种方法求解呢？
温馨提醒　相互平行的两条直线间的距离可以转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
A
∴点A到直线BC的距离为
∴点P到l的距离
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，|AA1|＝|AB|＝2. (1)求证：A1C∥平面AB1D；
令z＝1，则y＝0，x＝2，∴n＝(2，0，1).
∵A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.
(2)求点C1到平面AB1D的距离.
训练1 已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝6，|BC|＝4，|BB1|＝3，求点B1到平面A1BC1的距离.
∴点B1到平面A1BC1的距离
设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，
∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1，0，1).
∴点A1到平面ABE的距离
∵A1B1∥AB，AB⊂平面ABE，A1B1⊄平面ABE，∴A1B1∥平面ABE，∴直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离，
直线到平面的距离：一是直线与平面平行；二是转化为直线上任意一点到平面的距离.
训练2 如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且|PD|＝1，E，F分别为AB，BC的中点.求直线AC到平面PEF的距离.
解　建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，
设平面PEF的一个法向量n＝(x，y，z)，
令x＝2，则y＝2，z＝3，∴n＝(2，2，3)，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴AC∥EF，又EF⊂平面PEF，AC⊄平面PEF，∴AC∥平面PEF，
例3 在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，求O1到直线AC的距离. 解　连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0), O1(0，0，2)，C(0，3，0)，
训练3 在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，|AD|＝2|AB|＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°.求点B到直线PD的距离. 解　∵PA⊥平面ABCD， ∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角， ∴∠PDA＝45°，∴|PA|＝|AD|＝4，|AB|＝2. 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
∴(x，y－4，z)＝λ(0，－4，4)，∴x＝0，y＝4－4λ，z＝4λ，
所以点B到直线PD的距离为
课堂小结
1.牢记两个知识点：(1)点到平面的距离，(2)点到直线的距离.2.掌握两种方法：数形结合，转化与化归.3.辨清一个易错点：对距离公式的理解不到位导致错误.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1).则AC边上的高BD的长等于(　　) A.3 B.4 C.5 D.6
C
2.(多选)已知平面α的法向量为n＝(－1，－2，2)，点A(x2，2x＋1，2)为α内一点，若点P(0，1，2)到平面α的距离为4，则x的值为(　　) A.2 B.1 C.－3 D.－6
AD
令z＝1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2，1).
C
AB
B
显然平面AB1C∥平面A1C1D，所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离
6.在空间直角坐标系O－xyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2，1).已知点P(－1，3，2)，则点P到平面OAB的距离d＝________.
2
3
8.棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为________.
解析　如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，
设平面ACD1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
令x＝1，则y＝z＝1，∴n＝(1，1，1).∴点M到平面ACD1的距离
又MN∥AD1，MN⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，故MN∥平面ACD1，
9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离. 解　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D－xyz，如图.
10.已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且|PD|＝1，E，F分别为AB，BC的中点.求点D到平面PEF的距离.
11.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且|A1M|＝λ(0