【最新版】高中数学（新北师大版）习题+同步课件培优课　直线系方程与对称问题

培优课　直线系方程与对称问题

在求直线方程的时候，要利用两直线的斜率关系，或利用两直线的交点坐标，通过解方程的途径来获解.而在一些有关平行或垂直的问题，或是过有关两已知直线交点的问题中，利用相应的直线系方程，能简化解题过程，提高解题效率.而对称问题在我们身边无处不在，如光的反射问题；而对称也与直线中的交点问题、垂直问题有关，让我们共同直观感受一下直线系方程的简洁和直线的对称美吧！

类型一　直线系方程的应用

1.平行直线系：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C≠C1).

2.垂直直线系：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0.

3.交点直线系：若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0交于点P，则过交点P的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线l2).

4.过定点P(a，b)的直线系方程可设为m(x－a)＋(y－b)＝0(m为参数).

例1 (1)已知正方形的中心为G(－1，0)，一边所在的直线方程为x＋3y－5＝0，求其他三边所在的直线方程；

(2)已知直线l：(a－2)y＝(3a－1)x－1，若直线不过第二象限，求实数a的取值范围.

解　(1)正方形的中心G到已知边的距离为d＝＝.

设正方形与已知直线平行的一边所在的直线方程为x＋3y＋c＝0，则d＝＝，解得c＝7或c＝－5(舍去).故所求一边的直线方程为x＋3y＋7＝0.又由于正方形另两边所在的直线与已知直线垂直，故设另两边所在的直线方程为3x－y＋m＝0，则d＝＝，解得m＝9或m＝－3.

因此正方形另两边所在的直线方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.

综上所述，正方形其他三边所在的直线方程分别为x＋3y＋7＝0，3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.

(2)直线l的方程化为(3x－y)a－(x－2y＋1)＝0.

由得即无论a为何实数，直线l总过定点P.

设直线l的斜率为k，直线OP的斜率为kOP＝3.

由图象可知，当直线l的斜率k满足k≥kOP时，直线l与y轴的交点不会在原点的上方，即直线不经过第二象限.

故由k≥kOP，即≥3，且a－2≠0，解得a∈(2，＋∞).

又当a＝2时直线l为x＝，此时满足题意，故实数a的取值范围是[2，＋∞).

类型二　几类常见的对称问题

(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式.点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x，2b－y).

(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0，y0)，则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0.

(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”.

设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得.

(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题.

例2 已知直线l：y＝3x＋3，

求：(1)点P(4，5)关于l的对称点的坐标；

(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；

(3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程.

解　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，即

解得

∴点P′的坐标为(－2，7).

(2)解方程组得则点在所求直线上.在直线y＝x－2上任取一点M(2，0)，设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，则

解得点M′也在所求直线上.

由两点式得直线方程为＝，化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程.

(3)在直线l上取两点E(0，3)，F(－1，0)，则E，F关于点A(3，2)的对称点分别为E′(6，1)，F′(7，4).因为点E′，F′在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为＝，即3x－y－17＝0.

类型三　光的反射问题

根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点既关于法线对称又关于反射线对称，常常转化为利用点的对称关系求解.

例3 已知等腰直角三角形三个顶点A(0，0)、B(2，0)和C(0，2)，一质点从AB边上的点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图).

(1)若点P为AB边上的中点，求PQ所在的直线方程；

(2)当点P(x0，0)在AB边上运动时(除了两个端点)，求△PRQ周长的取值范围.

解　(1)由题意可知BC：x＋y－2＝0，P，设点Q(0<a<2)，点R，记P关于AC的对称点为P1，P关于BC的对称点为P2，由对称性可知Q，R，P1三点共线，Q，R，P2三点也共线，即

所以

所以PQ所在的直线方程为3x－y－3＝0.

(2)记△PRQ周长为L，若点P(0<x0<2)，则P关于AC的对称点为P1，P关于BC的对称点为P2，由对称性知：|PR|＝|P1R|，|PQ|＝|P2Q|，所以L＝|PQ|＋|QR|＋|PR|＝|P1R|＋|QR|＋|P2Q|，又由(1)可知P1，Q，R，P2四点共线，所以L＝|P1P2|＝，因为x0∈，所以L∈.

类型四　利用对称解决最值问题

由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点的对称点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解.

例4 在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得：

(1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差最大；

(2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小

解　(1)如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′，

则kBB′·kl＝－1，

即×1＝－1，

∴a＋b－4＝0，①

∵BB′的中点在直线l上，

∴－－1＝0，即a－b－6＝0.②

由①②得

∴点B′的坐标为(5，－1).

于是AB′所在直线的方程为＝，即2x＋y－9＝0.易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，

当且仅当P，B′，A三点共线时，||PB′|－|PA||最大，

∴联立直线l与AB′的方程，解得x＝，y＝，即l与AB′的交点坐标为.

故点P的坐标为.

(2)如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1，2)，

∴AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0.易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，当且仅当Q，A，C′三点共线时，|QA|＋|QC′|最小.∴联立直线AC′与l的方程，解得x＝，y＝，即AC′与l的交点坐标为.故点Q的坐标为.