【最新版】高中数学（新北师大版）习题+同步课件进阶训练3(范围：第一章2.1～2.4)

进阶训练3(范围：第一章2.1～2.4)

一、基础达标

1.圆2x2＋2y2＋6x－4y－3＝0的圆心坐标和半径分别为(　　)

A.和4   B.和4

C.和   D.和

答案　C

解析　2x2＋2y2＋6x－4y－3＝0可化为x2＋y2＋3x－2y－＝0，易知圆心的坐标为，半径为，故选C.

2.过点(1，2)且与圆x2＋y2＝5相切的直线有几条(　　)

A.0条   B.1条

C.2条   D.不确定

答案　B

解析　由于(1，2)满足x2＋y2＝5，所以在圆上，所以过点(1，2)且与圆x2＋y2＝5相切的直线有1条，故选B.

3.已知圆心为的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是(　　)

A.＋＝1   B.2＋2＝4

C.2＋2＝1   D.2＋2＝4

答案　B

解析　根据题意知圆心为(－2，1)，半径为2，故圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝4，故选B.

4.(多选)已知圆C1：x2＋(y－a)2＝1与圆C2：x2＋y2＝9有四条公切线，则实数a的取值可以是(　　)

A.－5   B.－3 

C.2   D.5

答案　AD

解析　圆C1的圆心C1，半径r1＝1，圆C2的圆心C2，半径r2＝3，∵两圆有四条公切线，∴两圆外离，又两圆圆心距d＝，∴>3＋1，解得a<－4或a>4，故选AD.

5.(多选)已知直线l：kx－y＋2k＝0和圆O：x2＋y2＝16，则(　　)

A.直线l恒过定点

B.存在k使得直线l与直线l0：x－2y＋2＝0垂直

C.直线l与圆O相交

D.若k＝－1，直线l被圆O截得的弦长为4

答案　BC

解析　对于A、C，由l：kx－y＋2k＝0，得k(x＋2)－y＝0，令解得所以直线l恒过定点(－2，0)，故A错误；因为直线l恒过定点(－2，0)，而2＋02＝4<16，即(－2，0)在圆O：x2＋y2＝16内，所以直线l与圆O相交，故C正确；对于B，直线l0：x－2y＋2＝0的斜率为，则当k＝－2时，满足直线l与直线l0：x－2y＋2＝0垂直，故B正确；对于D，k＝－1时，直线l：x＋y＋2＝0，圆心到直线的距离为d＝＝，所以直线l被圆O截得的弦长为2＝2＝2，故D错误.故选BC.

6.若直线x－y－3＝0被圆2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为________.

答案　1或5

解析　圆心到直线的距离为，则弦长为2＝2，解得a＝1或5.

7.已知点P(2，－2)和圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝16，则P在圆C________(填内、外或上)，以P为圆心且和圆C内切的圆的方程为________________.

答案　外　(x－2)2＋(y＋2)2＝81

解析　∵＝＝5>4，∴P在圆C外.设以P为圆心且和圆C内切的圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝r2，r>0，＋4＝r，即r＝＋4＝9，∴以P为圆心且和圆C内切的圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝81.

8.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A(－a，0)，B(a，0)，动点P满足＝λ(其中a和λ是正常数，且λ≠1)，则P的轨迹是一个圆，这个圆被称为“阿波罗尼斯圆”.若A(－1，0)，B(1，0)，动点P满足＝，则该圆的圆心坐标为________.

答案　

解析　设点P为，因为＝，所以＝，整理可得x2＋y2＋x＋1＝0，即2＋y2＝，则圆心为.

9.已知圆方程：x2＋y2－2ax＋2y＋a＋1＝0.

(1)求a的取值范围；

(2)求圆心到直线x－(1－a)y－1－a＝0的距离的取值范围.

解　(1)将圆的方程配方得(x－a)2＋(y＋1)2＝a2－a，

故满足a2－a>0，解得a>1或a<0.

故a的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞).

(2)圆心(a，－1)到直线x－(1－a)y－1－a＝0的距离

d＝＝，

因为－＋1＝22＋≥，且不能等于1，∴0<d≤，且d≠1.

故所求距离的取值范围是(0，1)∪(1，].

10.已知点A(1，4)，B(3，－2)，以AB为直径的圆记为圆C.

(1)求圆C的方程；

(2)若过点P(0，－2)的直线l与圆C交于M，N两点，且＝2，求直线l的方程.

解　(1)由A(1，4)，B(3，－2)，得AB的中点坐标为(2，1)，即圆心坐标为(2，1)，半径r＝|AB|＝，

∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.

(2)由|MN|＝2，可得弦心距为＝2.

当直线的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，圆心到直线l的距离为2，所以满足题意；

当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＋2＝kx，即kx－y－2＝0.圆心C到直线l的距离d＝＝2，解得k＝，直线l的方程为5x－12y－24＝0，

∴直线l的方程为x＝0或5x－12y－24＝0.

二、能力提升

11.点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则(　　)

A.|PQ|的最小值为0

B.|PQ|的最大值为7

C.两个圆心所在的直线斜率为－

D.两个圆相交弦所在直线的方程为6x－8y－25＝0

答案　BC

解析　根据题意，圆C1：x2＋y2＝1，其圆心C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0，即(x－3)2＋(y＋4)2＝1，其圆心C2(3，－4)，半径r2＝1，圆心距|C1C2|＝＝5，则|PQ|的最小值为－R－r＝3，最大值为＋R＋r＝7，故A错误，B正确；对于C，圆心C1(0，0)，圆心C2(3，－4)，则两个圆心所在的直线斜率k＝＝－，C正确；对于D，两圆圆心距＝5，有>R＋r＝2，两圆外离，不存在公共弦，D错误.

12.若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条切线，则a＋b的最大值为________.

答案　3

解析　易知圆心C1(－a，0)，半径r1＝2，圆心C2(0，b)，半径r2＝1，∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切，∴|C1C2|＝r1＋r2，即a2＋b2＝9，∵≤，∴a＋b≤2×＝3，当且仅当a＝b＝时 ，等号成立，∴a＋b的最大值为3.

13.已知两点D(4，2)，M(3，0)及圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝5.l为经过点M的一条动直线.

(1)若直线l经过点D，求证：直线l与圆C相切；

(2)若直线l与圆C相交于两点A，B，从下列条件中选择一个作为已知，求△ABD的面积.条件①：直线l平分圆C；条件②：直线l的斜率为－3.

解　根据题意，圆心C(2，3)，半径r＝.

(1)法一　若直线l经过点D，由D(4，2)满足C：(x－2)2＋(y－3)2＝5，可知，点D在圆C上.

直线l的斜率kl＝＝2，kCD＝＝－，kl·kCD＝－1，所以l⊥CD，所以直线l与圆C相切.

法二　若直线l经过点D，则直线l的方程为2x－y－6＝0.圆心C(2，3)到直线l的距离为＝＝r，所以直线l与圆C相切.

(2)选择条件①：直线l平分圆C，此时，直线l过圆心C(2，3)，方程为3x＋y－9＝0，＝2r＝2.点D(4，2)到直线l的距离h＝＝，

所以，S△ABD＝·h＝×2×＝.

选择条件②：直线l的斜率为－3，直线l的方程为3x＋y－9＝0，此时，圆心C在直线l上，＝2r＝2，点D(4，2)到直线l的距离h＝＝，

所以，S△ABD＝·h＝×2×＝.

三、创新拓展

14.已知曲线C：x4＋y2＋ay－b＝0(a、b是常数)关于x轴对称，且C上所有点都在圆x2＋y2＝2外，则a＝________，b的一个可能值是________.(写出一个符合条件的b值即可)

答案　0　5(答案不唯一)

解析　根据题意，曲线C：x4＋y2＋ay－b＝0(a、b是常数)关于x轴对称，则和都在曲线C上，则有x4＋y2＋ay－b＝x4＋y2－ay－b，变形可得2ay＝0，必有a＝0，则C的方程为x4＋y2＝b，若C上所有点都在圆x2＋y2＝2外，即有x2＋b－x4>2在上恒成立，设t＝x2(t∈[0，2])，则有b－2>t2－t在区间上恒成立，即有b>t2－t＋2在区间上恒成立，因为g＝x2－x＋2＝2＋，x∈，在上单调递减，在上单调递增，且g＝2，g＝4，所以gmax＝g＝4，所以b>4，故b的值可以为5(b的值不唯一).