【最新版】高中数学（新北师大版）习题+同步课件进阶训练2(范围：第一章1.5～1.6)

进阶训练2(范围：第一章1.5～1.6)

一、基础达标

1.直线x＋y－3＝0与直线x－y＋1＝0的交点坐标是(　　)

A.(2，2)   B.(－2，2)

C.(－1，3)   D.(1，2)

答案　D

解析　据题意有：

解得，所以交点坐标为，故选D.

2.直线l1：2x＋4y－3＝0与直线l2：2x＋4y＋7＝0之间的距离是(　　)

A.   B.

C.   D.2

答案　C

解析　由平行线间的距离公式可得直线l1与直线l2之间的距离d＝＝.故选C.

3.过直线3x＋y－1＝0与直线x＋2y－7＝0的交点，且与第一条直线垂直的直线的方程为(　　)

A.x－3y＋7＝0   B.x－3y＋13＝0

C.2x－y＋7＝0   D.3x－y＋5＝0

答案　B

解析　法一　由得

即两直线的交点坐标为(－1，4).

∵所求直线与第一条直线垂直，且第一条直线的斜率为－3，

∴所求直线的斜率为.

由直线的点斜式方程得所求直线的方程为y－4＝(x＋1)，即x－3y＋13＝0.

法二　由题意可设所求直线的方程为3x＋y－1＋λ(x＋2y－7)＝0(λ∈R)，即(3＋λ)x＋(1＋2λ)y－(1＋7λ)＝0.

∵所求直线与第一条直线垂直，∴3(3＋λ)＋(1＋2λ)＝0，

解得λ＝－2，代入所设方程得x－3y＋13＝0.

4.若点A(2，4)与点B关于直线l：x－y＋3＝0对称，则点B的坐标为(　　)

A.(5，1)   B.(1，5)

C.(－7，－5)   D.(－5，－7)

答案　B

解析　设B(m，n)，由题意可得

解得.故选B.

5.(多选)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线的方程可以为(　　)

A.2x＋3y－8＝0   B.4x＋6y＋5＝0

C.6x＋9y－10＝0   D.12x＋18y－13＝0

答案　BD

解析　设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，由题知：d1＝，d2＝，因为＝，所以＝，即2＝，解得m＝5或m＝－，即直线l为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0，故选BD.

6.已知点A到直线l：6x－8y＋c＝0的距离为2，则c＝________.

答案　－10或30

解析　由点到直线的距离公式得＝＝2，得c＝30或c＝－10.

7.直线l过点M0(1，5)，倾斜角是60°，且与直线x－y－2＝0交于M，则的长为________.

答案　10＋6

解析　直线l过点M0(1，5)，倾斜角是60°，则该直线方程为y－5＝，y＝x＋5－，联立方程解得M，

所以＝

＝

＝＝10＋6.

8.已知直线l1：mx＋ny＋5＝0，l2：x＋2y－5＝0，l3：3x－y－1＝0，若这三条直线交于一点，则交点坐标为________，点到原点的距离最小值为________.

答案　　

解析　由题意，即得交点坐标为，且m＋2n＝－5，由点到原点的距离d＝＝，∴当n＝－2时，d取最小值.

9.已知直线l1：x＋2y－4＝0，若直线l2在x轴上的截距为，且l1⊥l2.

(1)求直线l1和直线l2的交点坐标；

(2)已知直线l3经过直线l1与直线l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l3的方程.

解　(1)设l2的方程为2x－y＋m＝0，因为l2在x轴上的截距为，所以2×－0＋m＝0，解得m＝－3，即l2：2x－y－3＝0，联立得所以直线l1与l2的交点坐标为.

(2)当l3过原点时，l3的方程为y＝x；当l3不过原点时，设l3的方程为＋＝1，又直线l3经过l1与l2的交点，所以＋＝1，得a＝，l3的方程为2x＋y－5＝0，

综上，l3的方程为2x－y＝0或2x＋y－5＝0.

10.已知直线l1：x－2y－1＝0与直线l2：x＋my＋m2－3m＝0，m为实数.

(1)若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；

(2)当m＝2时，若光线沿直线l1照射到直线l2上后反射，求反射光线所在的直线l3的方程.

解　(1)∵l1∥l2，

∴解得m＝6，

∴l2：－3x＋6y＋18＝0，即x－2y－6＝0，∴l1与l2之间的距离d＝＝.

(2)当m＝2时，l2：x＋2y－2＝0，设l1与l2交于点P，由得

∴P，∴l1与l3关于直线y－＝2即2x－y－＝0对称，取l1上一点(1，0)，设关于直线2x－y－＝0的对称点为(x0，y0)，则其在直线l3上，故

解得x0＝，y0＝－，

故l3的方程为＝，

即11x＋2y－17＝0.

二、能力提升

11.(多选)已知点P是直线3x－4y＋5＝0上的动点，定点Q，则下列说法正确的是(　　)

A.线段PQ的长度的最小值为

B.当PQ最短时，直线PQ的方程是3x＋4y－7＝0

C.当PQ最短时P的坐标为

D.线段PQ的长度可能是

答案　AC

解析　当PQ垂直于直线3x－4y＋5＝0时，PQ最短，Q到直线的距离为＝，故A正确；由A项知PQ的长度范围为，<，故D错误；设P，则kPQ＝＝－，解得m＝，故P为，故C正确；此时直线PQ的方程是＝，即4x＋3y－7＝0，故B错误，故选AC.

12.(多选)瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A(－2，0)，B(0，2)，其欧拉线方程为x－y＋1＝0，则顶点C的坐标可以是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　BC

解析　设顶点C的坐标为(x，y)，所以重心坐标为，因为欧拉线方程为x－y＋1＝0，所以－＋1＝0⇒x－y＝1.

A.当顶点C的坐标为时，显然不满足x－y＝1；

B.当顶点C的坐标为时，显然满足x－y＝1；

C.当顶点C的坐标为时，显然满足x－y＝1；

D.当顶点C的坐标为时，显然不满足x－y＝1，故选BC.

13.在①l与坐标轴所围成三角形面积为6，②l与l1之间的距离为，③点A到l的距离为，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.

问题：已知直线l与直线l1：x＋3y－1＝0平行，且________，求l的方程.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解　依题意，设直线l的方程为x＋3y＋m＝0.

选择①，令x＝0，得y＝－，令y＝0，得x＝－m，故l与坐标轴所围成的三角形的面积S＝×＝6，解得m＝±6，

∴l的方程为x＋3y＋6＝0或x＋3y－6＝0.

选择②，∵l与l1之间的距离为，即＝，得m＝－11或9，

∴l的方程为x＋3y－11＝0或x＋3y＋9＝0.

选择③，∵点A到l的距离为，即＝，得m＝－14或6，

∴l的方程为x＋3y－14＝0或x＋3y＋6＝0.

三、创新拓展

14.已知三角形的顶点为A，B，C.

(1)求直线AC的方程；

(2)从①、②这两个问题中选择一个作答.

①求点B关于直线AC的对称点D的坐标.

②若直线l过点B且与直线AC交于点E，＝3，求直线l的方程.

解　(1)因为直线AC的斜率为kAC＝，所以直线AC的方程为：y－3＝，即直线AC的方程为：x－2y＋4＝0.

(2)问题①：设D的坐标为，则解得

点D的坐标是；

问题②：设E的坐标为，

∵＝3，∴＝3，

解得t＝0或t＝－，

∴E的坐标为或，

∴直线l的方程为x＝0或3x＋4y＋4＝0.