【最新版】高中数学（新北师大版）习题+同步课件进阶训练4(范围：第二章§1～§2)

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进阶训练4(范围：第二章§1～§2)一、基础达标1.椭圆＋＝1的离心率是(　　)A.   B.  C.   D.答案　C解析　在椭圆＋＝1中，a＝2，b＝， 则c＝＝，因此，椭圆＋＝1的离心率为e＝＝.故选C.2.已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过点F1的直线与C交于A、B两点，若△ABF2的周长为8，则椭圆C的标准方程为(　　)A.＋＝1   B.＋＝1C.＋＝1   D.＋＝1答案　C解析　根据椭圆的定义知△ABF2的周长为4a＝8，∴a＝2，又c＝1，∴b2＝a2－c2＝3，∴椭圆C的标准方程为＋＝1.3.“－3＜m＜4”是“方程＋＝1表示椭圆”的________条件(　　)A.充分不必要   B.必要不充分C.充要   D.既不充分也不必要答案　B解析　因为方程＋＝1表示椭圆的充要条件是解得－3＜m＜4且m≠，所以“－3＜m＜4”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件.故选B.4.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图，若将此大教堂外形弧线的一近似看成焦点在y轴上的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为2，则此双曲线的离心率为(　　) A.2   B.3  C.2   D.2答案　B解析　双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为2，可得：解得a＝1，c＝3，b＝2，所以双曲线的离心率为：e＝＝3.故选B.5.(多选)已知方程＋＝1表示的曲线是双曲线，其离心率为e，则(　　)A.－＜m＜B.点(2，0)是该双曲线的一个焦点C.1＜e≤D.该双曲线的渐近线方程可能为x±2y＝0答案　AC解析　因为方程＋＝1表示的曲线是双曲线，所以(m2－2)(m2＋2)＜0，解得－＜m＜，故选项A正确；将＋＝1化为－＝1，得焦点在y轴上，故选项B错误；因为2≤m2＋2＜4，所以e2＝∈(1，2]，故选项C正确；因为双曲线的渐近线斜率的平方k2＝≥1，所以选项D错误.故选AC.6.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为________.答案　y＝±x解析　由题意知：⇒a＝b，双曲线的渐近线方程为y＝±x.7.设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞0)的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，若△ABF1为正三角形，则a的值为________.答案　解析　F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞0)的左、右焦点，则a2－c2＝2①，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，因为△ABF1是等边三角形，所以|AF2|＝|F1F2|tan 30°＝c，则A，代入椭圆方程可得＋＝1②；由①②，结合a＞c＞0可得8.已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，双曲线N：－＝1(m>0，n>0).若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________.答案　－1　2解析　由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c＋c，再根据椭圆定义得c＋c＝2a，所以椭圆M的离心率为＝＝－1.双曲线N的渐近线方程为y＝±x，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为，∴＝tan2＝3，∴e2＝＝＝4，∴e＝2.9.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)满足a＝2b，且经过点，F1，F2是椭圆的左、右焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)点P在椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝2，求1·2的值.解　(1)依题意有a＝2b，＋＝1，解得a＝2，b＝1.则椭圆的方程为＋y2＝1.(2)由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，解得|PF1|＝3，|PF2|＝1，又|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，由余弦定理可得cos ∠F1PF2＝＝－，所以1·2＝3×1×＝－1.10.已知p：＋＝1表示双曲线，q：＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆；(1)若p且q为真命题，则p是q的什么条件？(2)若p或q为假命题，求实数m的取值范围.解　(1)因为p且q为真命题，故p为真命题，q为真命题.所以p：＋＝1表示双曲线是真命题，所以(m－1)(m－4)＜0，解得1＜m＜4.又q：＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆是真命题，所以解得3＜m＜4.所以p是q的必要而不充分条件.(2)∵p或q假命题，∴p假且q假.当p假时，由(1)可知，有m≤1或m≥4①，当q为假时，有m≤3或m≥4②，由①②解得m≤1或m≥4.故实数m的取值范围是(－∞，1]∪[4，＋∞).二、能力提升11.若椭圆＋＝1与双曲线－＝1有公共焦点，则m的取值为(　　)A.－2   B.1  C.2   D.3答案　B解析　由双曲线－＝1可知，椭圆和双曲线的焦点在x轴上，m＞0.依题意椭圆＋＝1与双曲线－＝1有公共焦点，所以4－m2＝m＋2，即m2＋m－2＝0，由于m＞0，故上式解得m＝1.故选B.12.(多选)已知曲线C：＋＝1，F1，F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列说法正确的是(　　)A.若m＝－3，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为B.若曲线C的离心率e＝2，则m＝－27C.若m＝3，则曲线C上不存在点P，使得∠F1PF2＝D.若m＝3，P为C上一个动点，则△PF1F2面积的最大值为3答案　ABD解析　当m＝－3时，双曲线方程为－＝1，所以a＝3，b＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，渐近线y＝x的倾斜角为，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为，故A正确；若曲线C的离心率e＝2，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线，m＜0，此时a2＝9，b2＝－m，则＝＝＝2，解得m＝－27.故B正确；当m＝3时，曲线方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆，此时a2＝9，b2＝3，c＝＝，则F1(－，0)，F2(，0)，设P(x，y)，则＋＝1，1·2＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－6＝x2＋3－－6＝x2－3，∵－3≤x≤3，∴x2－3∈[－3，3]，且当x＝±时，1·2＝0，满足∠F1PF2＝，故C错误；当m＝3时，曲线方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆，此时a2＝9，b2＝3，c＝＝，则F1(－，0)，F2(，0)，△PF1F2面积的最大值为·2c·b＝bc＝3，故D正确，故选ABD.13.已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点.(1)若A是C上一点，且线段PA的中点为，求直线PA的斜率，(2)若Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，求|PQ|的最小值.解　(1)设A，P两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，因为A，P两点都在C上，所以两式相减，得(x2－x1)(x2＋x1)＋8(y2－y1)(y2＋y1)＝0，因为x2＋x1＝1×2＝2，y2＋y1＝×2＝1，所以kPA＝＝－.(2)设P(x，y)(－2≤x≤2)，则＋y2＝1，圆心D(－1，0)，则|PD|2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－＝＋，当x＝－时，|PD|取得最小值，且最小值为＝.因为圆D的半径为＝.所以|PQ|的最小值为－＝.三、创新拓展14.设椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x2＋y2＝4.(1)求椭圆M的方程；(2)已知A(－2，)，F是椭圆M的下焦点，在椭圆M上是否存在点P，使△AFP的周长最大？若存在，请求出△AFP周长的最大值，并求此时△AFP的面积；若不存在，请说明理由.解　(1)∵双曲线x2－y2＝1的离心率为，∴椭圆M的离心率为e＝＝.∵椭圆M内切于圆x2＋y2＝4，圆x2＋y2＝4的直径为4，则2a＝4，得：⇒所求椭圆M的方程为＋＝1.(2)椭圆M的上焦点为F1(0，)，由椭圆的定义得：|PF1|＋|PF|＝4，∴|PF|＝4－|PF1|.△AFP的周长为|PA|＋|PF|＋|AF|＝|PA|－|PF1|＋4＋2≤|AF1|＋4＋2＝6＋2.当且仅当点P在线段AF1的延长线上时取等号.∴在椭圆M上存在点P，使△AFP的周长取得最大值6＋2，直线AF1的方程为y＝，由解得：或∵点P在线段AF1的延长线上，∴点P的坐标为P(1，)，△AFP的面积S△AFP＝|AP||FF1|＝×3×2＝3.