【最新版】高中数学（新北师大版）习题+同步课件进阶训练10(范围：第六章§3～§4)

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进阶训练10(范围：第六章§3～§4)一、基础达标1.若X～N，且P＝0.45，则P等于(　　)A.0.45   B.0.3  C.0.1   D.0.05答案　D解析　∵X～N，∴正态分布曲线的对称轴为x＝－1，又P＝0.45，∴P(X>2)＝P＝0.5－P(－4<X<－1)＝0.5－0.45＝0.05.2.已知离散型随机变量X的分布列为X0123Pm则X的数学期望EX＝(　　)A.   B.1  C.   D.2答案　B解析　由＋＋m＋＝1，得m＝，所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.3.甲乙两队进行排球决赛，赛制为5局3胜，若甲乙两队水平相当，则最后甲队以3∶1获胜的概率为(　　)A.   B.  C.   D.答案　A解析　由已知得，设事件A为“甲队获胜”，则P＝，事件B为“乙队获胜”，则P＝，甲队以3：1获胜，则前3局中，甲获胜2局，乙获胜1局，第4局甲获胜，则甲队以3：1获胜的概率为C×2××＝.4.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数p，使得p＋2是素数.素数对称为孪生素数对.从8个数对，，，，，，，中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为X，则EX＝(　　)A.   B.  C.   D.3答案　C解　由题意知8个数对中有，，，共4对孪生素数对，所以X的可能取值为0，1，2，3故P＝＝，P＝＝，P＝＝，P＝＝，所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.5.(多选)已知随机变量ξ满足P＝，P＝x，P＝－x，若0<x<，则(　　)A.Eξ有最大值   B.Eξ无最小值C.Dξ有最大值   D.Dξ无最小值答案　BD解析　由题意可得，Eξ＝0×＋1×x＋2×＝－x，因为f＝－x在上单调递减，所以当0<x<时，Eξ无最大值和最小值.故A错误，B正确；Dξ＝2·＋2·x＋2·＝－x2－x＋，因为f＝－x2－x＋＝－2＋在上单调递减，所以当0<x<时，Dξ无最大值和最小值，故C错误，D正确.6.某学校有100人参加暑期社会实践，实践结束时的综合能力测试成绩X近似服从正态分布N，若P＝0.35，则综合能力测试成绩在120分以上的人数大约为________.答案　15解析　因为X近似服从正态分布N，P＝0.35，所以P＝P＝0.35，由正态分布的对称性可知：P＝0.5－P＝0.5－0.35＝0.15，所以综合能力测试成绩在120分以上的人数大约为0.15×100＝15.7.从装有除颜色外完全相同的m个白球和4个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，记摸得白球个数为X，若EX＝1，则m＝________，P＝________.答案　2　解　由题意，X～B，因为EX＝1，所以3×＝1，解得m＝2，所以P＝C2×＝.8.某市生态环境局举办“六·五世界环境日”宣传活动，进行现场抽奖.抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“环保会徽”或“绿色环保标志”图案.参加者每次从盒中抽取卡片2张，若抽到2张都是“绿色环保标志”卡即可获奖.已知从盒中抽到2张都不是“绿色环保标志”卡的概率是.现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽，用ξ表示获奖的人数，那么Eξ＋Dξ＝________.答案　解析　设盒中装有10张大小相同的精美卡片，其中印有“环保会徽”图案的有n张，则印有“绿色环保标志图案的有张，由题意得＝，解得n＝6，所以参加者每次从盒中抽取卡片2张，获奖概率P＝＝，所以获奖的人数ξ～B，所以Eξ＋Dξ＝4×＋4××＝.9.交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，若摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列.解　设抽奖人所得钱数为随机变量X，则X＝2，6，10.P(X＝2)＝＝，P(X＝6)＝＝，P(X＝10)＝＝.故X的分布列为X2610P10.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B3的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.解　(1)记“接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B3”的事件为M，则P(M)＝＝.(2)由题意知X可取的值为：0，1，2，3，4，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，因此X的分布列为X01234PEX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.二、能力提升11.(多选)假设两所学校的数学联考成绩(分别记为X，Y)均服从正态分布，即X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，X，Y的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的有(　　)参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.954 4A.P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋σ1)≈0.818 5B.P(X≤μ1)<P(Y≤μ2)C.P(X≤σ)<P(X≤σ)D.P(Y≤μ1)<P(Y≤μ2)答案　AD解析　由正态分布，P(μ1－2σ1≤X≤μ1－σ1)＝≈0.135 9，则P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋σ1)＝P(μ1－2σ1≤X≤μ1－σ1)＋P(μ1－σ1≤X≤μ1＋σ1)≈0.135 9＋0.682 6＝0.818 5，故A正确；P(X≤μ1)＝P(Y≤μ2)＝0.5，故B错误；由图可知Y分布更集中，所以σ>σ，则P(X≤σ)>P(X≤σ)，所以C错误；由图可知μ1<μ2，所以P(Y≤μ1)<P(Y≤μ2)，则D正确.12.(多选)端午节，又称端阳节、龙舟节、天中节等，与春节、清明节、中秋节并称为中国四大传统节日.扒龙舟与食粽是端午节的两大礼俗，这两大礼俗在中国自古传承，至今不辍.在一个袋中装有大小一样的6个豆沙粽，4个咸肉粽，现从中任取4个粽子，设取出的4个粽子中咸肉粽的个数为X，则下列结论正确的是(　　)A.P＝B.随机变量X服从二项分布C.随机变量X服从超几何分布D.P＝答案　ACD解析　由题意知，随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确；P＝＝，P＝＝，所以P(1<X<4)＝P＋P＝＋＝，故AD正确.13.某商家以每件6元的价格购进某商品，然后以每件10元的价格出售.如果该商品当天卖不完，剩下的只能作垃圾处理.商家记录了100天该商品的日需求量(单位：件)，整理得下表：日需求量141516171819频数102025201510以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(1)若商家一天购进该商品16件，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列，数学期望；(2)若商家计划一天购进该商品16件或17件，你认为应购进16件还是17件？请说明理由.解　(1)X的可能取值为44、54、64，P(X＝44)＝0.1，P(X＝54)＝0.2，P(X＝64)＝0.7，∴X的分布列为：X445464P0.10.20.7EX＝44×0.1＋54×0.2＋64×0.7＝60.(2)若当天购进17件，则利润为：EY＝(140－17×6)×0.1＋(150－17×6)×0.2＋(160－17×6)×0.25＋(170－17×6)×0.45＝58.5，因为60>58.5，所以购进16件更合理.三、创新拓展14.某高中招聘教师，首先要对应聘者的工作经历进行评分，评分达标者进入面试，面试环节应聘者要回答3道题，第一题为教育心理学知识，答对得2分，答错得0分，后两题为学科专业知识，每道题答对得4分，答错得0分.(1)若一共有1 000人应聘，他们的工作经历评分X服从正态分布N，76分及以上达标，求进面试环节的人数(结果四舍五入保留整数)；(2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题正确与否互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的分布列及数学期望.附：若随机变量X～N，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 4.解　(1)因为X服从正态分布N，所以P＝P＝＝0.158 7，因此进入面试的人数为1 000×0.158 7≈159.(2)由题可知，Y的可能取值为0，2，4，6，8，10，则P＝×2＝；P＝×＝；P＝×C××＝＝；P＝×C××＝＝；P＝×2＝＝；P＝×2＝＝.故Y的分布列为：Y0246810P所以EY＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＋10×＝＝7.9.