高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4. 1 直线的方向向量与平面的法向量课文课件ppt

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1.能用向量语言表述直线和平面.2.理解直线的方向向量与平面的法向量.3.会求直线的方向向量与平面的法向量.
在学习用向量语言表述直线、平面以及理解直线的方向向量和平面的法向量的过程中，经历数学概念的抽象过程，培养数学抽象素养，发展数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、直线的方向向量与直线的向量表示1.思考　在空间中，如何用向量表示一个点？
2.思考　在空间中，怎样可以确定一条直线？提示　两点可以确定一条直线；直线上的一点及这条直线的方向也可以确定一条直线.
温馨提醒　(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须满足两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合.(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个.
4.做一做　(1)若A(2，1，1)，B(1，2，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)A.(2，1，1) B.(－2，2，2)C.(－3，2，1) D.(2，1，－1)
解析　由点P在直线上的充要条件可得，选AB.
二、平面的法向量1.思考　给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.类似地，给定一点和一条直线后，能否确定过此点和这条直线垂直的平面？提示　能，并且此平面是唯一的.2.思考　空间中两条直线a，b，若a∥b且a⊥α，则b与α的位置关系是什么？提示　b⊥α，同理a⊥α，b⊥α，则a∥b.
3.填空　向量与平面如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的________，则________.温馨提醒　(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量.(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行.
4.做一做　(1)若点A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，若l⊥平面α，则平面α的一个法向量为(　　)A.(1，2，3) B.(1，3，2)C.(2，1，3) D.(3，2，1)
(2)已知平面α的一个法向量是(2，－1，－1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(　　)A.(4，2，－2) B.(2，0，4)C.(2，－1，－5) D.(4，－2，－2)
解析　∵平面α∥平面β，∴平面β的法向量与平面α的法向量平行，又∵(4，－2，－2)＝2(2，－1，－1)，∴选D.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
训练1 在三棱锥P－ABC中，E，O，G分别为PA，AC，OC的中点，过点G求作直线EO的一个方向向量.解　如图所示，取PE的中点H，连接HG，
∵E，O，G，H分别是PA，AC，OC，PE的中点，∴HG∥OE，
例2 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，|AB|＝|AP|＝1，|AD|＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.
解　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.如图，以A为坐标原点，
迁移 若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.
(6)得结论：得到平面的一个法向量.
训练2 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量.
解　连接PF，CF.因为PA＝PB，F为AB的中点，所以PF⊥AB，又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF⊂平面PAB，所以PF⊥平面ABCD.因为|AB|＝|BC|，∠ABC＝60°，所以△ABC是等边三角形，所以CF⊥AB.以F为坐标原点，建立空间直角坐标系Fxyz(如图所示).
由题意得F(0，0，0)，
(2)已知平面 α内的两个向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4，1).若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为(　　)A.－1，2 B.1，－2C.1，2 D.－1，－2解析　c＝ma＋nb＋(4，－4，1)＝(m，m，m)＋(0，2n，－n)＋(4，－4，1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1).
训练3 (1)(多选)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的方向向量是(　　)A.(2，2，6) B.(1，1，3)C.(3，1，1) D.(－3，0，1)
1.牢记两个知识点：(1)直线的方向向量；(2)平面的法向量.2.掌握两种方法：转化与化归和待定系数.3.辨清一个易错点：直线的方向向量和平面的法向量不唯一.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
解析　∵A(0，y，3)和B(－1，2，z)，
2.已知平面内的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则该平面的一个法向量为(　　)A.(1，－1，1) B.(2，－1，1)C.(－2，1，1) D.(－1，1，－1)
解析　显然a与b不平行，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，
解析　由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面内的直线AB，CD都垂直，A，B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确.
∴AB⊥AP，AD⊥AP，则A，B正确；
6.已知直线l1的一个方向向量为(－5，3，2)，另一个方向向量为(x，y，8)，则x＝________，y＝________.
7.棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一个方向向量为____________________.
(1，1，1)(答案不唯一)
解析　因为l⊥α，所以e与n平行，则存在实数m使得e＝mn，
证明　设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，
解析　与平面ABC垂直的棱所在直线的方向向量均可，结合选项知BC正确.
12.已知空间直角坐标系O－xyz中的点A(1，1，1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点，则直线OA的一个方向向量为_______________________，点P的坐标满足的条件为__________________.
(1，1，1) (答案不唯一)
设n＝(x，y，z)为平面SCD的法向量，
取x＝2，得y＝－1，z＝1，故平面SCD的一个法向量为(2，－1，1).