数学选择性必修 第一册4.2 用向量方法讨论立体几何中的位置关系图文ppt课件

这是一份数学选择性必修 第一册4.2 用向量方法讨论立体几何中的位置关系图文ppt课件，文件包含第一课时空间中的角pptx、第一课时空间中的角doc等2份课件配套教学资源，其中PPT共60页， 欢迎下载使用。

1.会用向量法求线线角、线面角和二面角的大小.2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角和平面法向量所成的角与二面角的平面角的关系.
通过学习空间角的计算步骤和方法，把两异面直线所成的角、线面角、二面角转化为向量的夹角求解，培养学生的直观想象素养和数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、两条直线所成的角1.思考　若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a与b所成的角θ与两个方向向量所成的角〈a，b〉有怎样的关系？
温馨提醒　两直线的方向向量所成的角与两直线所成的角相等或互补.
3.做一做　(1)直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则(　　)A.α＝θ B.α＝π－θC.cs θ＝|cs α| D.cs α＝|cs θ|
二、直线与平面所成的角1.思考　观察如图直线l的一个方向向量l与平面α的一个法向量n两者的夹角〈l，n〉与直线l和平面α所成的角θ有什么样的关系？
温馨提醒　除了用向量求线面角外，还可以根据直线与平面所成的角的定义，确定出待求角，转化为两直线所成的角求解.
(2)设直线a的方向向量为a＝(－1，2，1)，平面α的法向量为b＝(0，1，2)，则直线a与平面α所成角的正弦值为___________.
三、两个平面所成的角1.思考　两个平面所成的角与二面角的平面角有何区别？
2.思考　二面角的平面角与两平面的法向量所成夹角有何关系？提示　两平面所成的角是两法向量的夹角或其补角.
温馨提醒　求二面角的平面角问题可转化为求两平面法向量的夹角问题.
3.填空　一般地，已知n1，n2分别为平面α，β的法向量，则二面角α－l－β的平面角与两法向量所成角〈n1，n2〉相等(如图(1))或互补(如图(2)).
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
建立如图所示的空间直角坐标系，z轴在平面OBB1O1中.
训练1 (1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|CA|＝|CB|＝|CC1|，AC⊥BC，E、F分别是A1C1、B1C1的中点，则直线AE与CF所成角的余弦值等于(　　)
(2)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知|DA|＝|DC|＝4，|DD1|＝3，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为________.
解析　如图，建立空间直角坐标系.
由已知得A1(4，0，0)，B(4，4，3)，B1(4，4，0)，C(0，4，3).
解　建立如图所示的空间直角坐标系，则
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.
解　设平面ACD1的法向量为m＝(x，y，z)，
例3 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明：O1O⊥平面ABCD；
证明　因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD.因为AC∩BD＝O，AC，BD⊂平面ABCD，所以O1O⊥平面ABCD.
(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1和平面DOB1所成二面角的平面角的余弦值.
迁移 例3条件不变，求平面BA1C与平面A1CD所成二面角的平面角的余弦值.
设平面BA1C的法向量为p＝(x1，y1，z1)，
求二面角的平面角的两种方法(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面所成的角.(2)向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面所成二面角的平面角为〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉.
取x＝2，则y＝1＝z，故n＝(2，1，1).
(2)已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若|PA|＝|AB|，则平面PAB与平面PCD所成二面角的平面角为(　　)A.30° B.45° C.60° D.90°
解析　如图所示，建立空间直角坐标系，设|PA|＝|AB|＝1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1).
∴由图可知，平面PAB与平面PCD所成二面角的平面角为锐角，故为45°.
1.牢记三个知识点：(1)两条直线所成的角，(2)直线与平面所成的角，(3)两个平面所成的角.2.掌握两种方法：数形结合，转化与化归.3.辨清两个易错点：(1)直线与平面所成角的公式sin θ＝|cs〈a，m〉|；(2)二面角的平面角与平面法向量所成角的关系.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则
即AC与BD1所成角的余弦值为0.
解析　设α与β所成二面角的平面角为θ，
又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°或120°.
连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，
解析　对选项A，由图知：A1D与B1D1是异面直线，故A正确；以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，对选项B，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，E(1，2，0)，F(0，1，0)，
6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成角的大小为________.
7.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，|AA1|＝2|AB|，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________.
8.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，|AA1|＝2|AB|，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面BDC1的一个法向量是____________(答案不唯一，写出一个即可)，直线CB1与平面BDC1所成角的正弦值等于______.
令z＝1，则y＝2，x＝－2.故平面BDC1的一个法向量为n＝(－2，2，1)，设CB1与平面BDC1所成角为θ，
(2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值.
10.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，|AB|＝|AA1|＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.
平面ABCD的一个法向量是m＝(0，0，1)，
14.请从下面两个条件中任选一个，补充在横线上，并作答.①∠CBD＝30°；②BD与平面ABC所成的角为45°.如图，在三棱锥A－BCD中，△ABC是边长为2的正三角形，∠BDC＝90°，平面ABC⊥平面BCD，O是线段BC的中点，________.
(1)求AC与BD所成角的余弦值；(2)求二面角O－AD－C的平面角的余弦值.解　选①：∠CBD＝30°.(1)△ABC是边长为2的正三角形，O是线段BC的中点，故AO⊥BC，
因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AO⊂平面ABC，
选②：BD与平面ABC所成的角为45°.