【最新版】高中数学（新人教A版）习题+同步课件限时小练34　抛物线几何性质的应用

限时小练34　抛物线几何性质的应用

1.(多选)若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标可以为(　　)

A.  B.

C.   D.

答案　BD

解析　由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F，所以点P的横坐标为，代入抛物线方程得y＝±，故点P的坐标为，故选BD.

2.设F为抛物线C：y2＝8x的焦点，过F且倾斜角为45°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)

A.8   B.4

C.16   D.8

答案　D

解析　易知抛物线中p＝4，焦点F(2，0)，

直线AB的斜率k＝1，

故直线AB的方程为y＝x－2，

由抛物线的性质可得弦长

|AB|＝＝16，

又O到直线AB的距离d＝·sin 45°＝，

∴S△OAB＝|AB|·d＝8.

3.已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.

(1)求抛物线E的方程；

(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.

(1)解　由抛物线的定义，得|AF|＝2＋.

因为|AF|＝3，即2＋＝3，

解得p＝2，

所以抛物线E的方程为y2＝4x.

(2)证明　因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，

由抛物线的对称性，不妨设A(2，2).

由A(2，2)，F(1，0)可得，直线AF的方程为y＝2(x－1).

由

得2x2－5x＋2＝0，

解得x＝2或x＝，从而B(，－).

又G(－1，0)，

所以kGA＝＝，

kGB＝＝－，

所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.