【最新版】高中数学（新人教A版）习题+同步课件限时小练12　利用空间向量求空间角

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限时小练12　利用空间向量求空间角1.正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(　　)A.  B.  C.   D.答案　D解析　设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系如图，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1).易知平面ACD1的一个法向量为＝(1，1，1).又＝(0，0，1)，则cos〈，〉＝＝＝.故BB1与平面ACD1所成角的余弦值为＝.2.已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，沿对角线AC折叠之后，使得平面BAC⊥平面DAC，则平面BCD与平面ACD夹角的余弦值为________.答案　解析　设菱形ABCD的边长为1，取AC的中点O，连接BO、DO，因为∠ABC＝60°，所以BO⊥AC，又平面BAC⊥平面DAC，平面BAC∩平面DAC＝AC，所以BO⊥平面ACD，如图建系，则O(0，0，0)，C(，0，0)，B(0，0，)，D(0，，0)，所以＝(0，0，)，＝(，0，－)，＝(－，，0).设平面BCD的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，得x＝，y＝1，则n＝(，1，1)，易知平面CDA的一个法向量为＝(0，0，)，所以|cos〈，n〉|＝＝.3.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求平面A1BD与平面A1AD夹角的正弦值.解　在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E.因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AE，AA1⊥AD.如图，以{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.因为AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°，则A(0，0，0)，B(，－1，0)，D(0，2，0)，E(，0，0)，A1(0，0，)，C1(，1，).(1)＝(，－1，－)，＝(，1，).则cos〈，〉＝＝＝－.因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.(2)可知平面A1DA的一个法向量为＝(，0，0).设m＝(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，又＝(，－1，－)，＝(－，3，0)，则即不妨取x＝3，则y＝，z＝2，所以m＝(3，，2)为平面BA1D的一个法向量，设平面A1BD与平面A1AD夹角的大小为θ，从而cos θ＝|cos〈，m〉|＝＝＝.因为θ∈[0，]，所以sin θ＝＝.因此平面A1BD与平面A1AD夹角的正弦值为.