【最新版】高中数学（新人教A版）习题+同步课件限时小练23　求点的轨迹方程

限时小练23　求点的轨迹方程

1.已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　)

A.π   B.4π 

C.8π   D.9π

答案　B

解析　设动点P的坐标为(x，y)，则由|PA|＝2|PB|，知＝2，化简得(x－2)2＋y2＝4，得轨迹曲线为以(2，0)为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π.

2.设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是

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答案　(x－1)2＋y2＝2

解析　设P(x，y)是轨迹上任一点，

圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1，0)，

则|PA|2＋1＝|PB|2，∴(x－1)2＋y2＝2.

3.点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.

(1)求线段AP的中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点的轨迹方程.

解　(1)设线段AP的中点为M(x，y)，

由中点公式得点P坐标为P(2x－2，2y).

∵点P在圆x2＋y2＝4上，

∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，

故线段AP的中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.

(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，

在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.

设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，

∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，

故线段PQ的中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.