【最新版】高中数学（新人教A版）习题+同步课件限时小练25　直线与圆的方程的应用

限时小练25　直线与圆的方程的应用

1.某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需用一个支柱支撑，则支柱A2P2的长为(　　)

A.(12－24)m   B.(12＋24)m

C.(24－12)m   D.不确定

答案　A

解析　如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为(－18，0)，(18，0)，(0，6).

设圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

因为A，B，P在此圆上，故有

解得

故圆拱所在圆的方程是x2＋y2＋48y－324＝0.

将点P2的横坐标x＝6代入上式，

结合图形解得y＝－24＋12.

故支柱A2P2的长为(12－24)m.

2.一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道，该隧道为双向车道，中间有隔离带，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过(　　)

A.1.4米   B.3.0米 

C.3.6米   D.4.5米

答案　C

解析　如图所示，

半圆的方程为x2＋y2＝4.52(y≥0)，D(2.7，0).

设A(2.7，y)代入半圆方程得

2.72＋y2＝4.52，解得y＝3.6.

因此这辆卡车的平顶车篷距离地面的高度不得超过3.6 m.故选C.

3.一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它________(填“会”“不会”)受到台风的影响.

答案　不会

解析　如图，以台风中心为原点O，以东西方向为x轴，建立直角坐标系，

其中，取10 km为单位长度.则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O，圆的方程为x2＋y2＝9；轮船航线所在的直线l的方程为4x＋7y－28＝0.

可知直线与圆相离，故轮船不会受到台风的影响.

4.某圆拱桥的水面跨度为20 m，拱高为4 m.现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？

解　建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上.依题意，有

A(－10，0)，B(10，0)，

P(0，4)，D(－5，0)，E(5，0).

设这座圆拱桥的拱圆的方程是

(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

于是有

解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.

所以这座圆拱桥的拱圆的方程是

x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4).

把点D的横坐标x＝－5代入上式，

得y≈3.1.

由于船在水面以上高3 m，3<3.1，

所以该船可以从桥下通过.