【最新版】高中数学（新人教A版）习题+同步课件进阶训练5(范围：3.1.1～3.1.2)

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进阶训练5(范围：3.1.1～3.1.2)一、基础达标1.已知椭圆C：＋＝1，直线l：x＋my－m＝0(m∈R)，l与C的公共点个数为(　　)A.0　 B.1　　　C.2　　　 D.无法判断答案　C解析　因为直线：x＋my－m＝0恒过(0，1)，而将(0，1)代入椭圆方程得<1，故此点在椭圆内部，所以直线与椭圆相交，故有两个交点.2.已知点M(，0)，直线y＝k(x＋)与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则△ABM的周长为(　　)A.4   B.8  C.12   D.16答案　B解析　椭圆＋y2＝1的焦点在x轴上，a2＝4，b2＝1，c＝＝，所以椭圆的两个焦点为N(－，0)，M(，0).又因为直线y＝k(x＋)必经过定点N(－，0)，由椭圆的定义知△ABM的周长为|AB|＋|AM|＋|BM|＝(|AN|＋|AM|)＋(|BN|＋|BM|)＝2a＋2a＝4a＝8.3.已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，当△F1PF2的面积为1时，·等于(　　)A.0   B.1  C.2  D.答案　A解析　设P(x0，y0)，则依题意有S△F1PF2＝·|F1F2|·|y0|＝1，而|F1F2|＝2，所以y0＝±.故得x0＝±.取P，可得·＝0.4.(多选)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点，若C上存在点P满足∠APB＝120°，则k的取值可能是(　　)A.   B.2  C.6   D.12答案　AD解析　若C上存在点P满足∠APB＝120°，则只需当点P在短轴顶点时∠APB≥120°.故分析长半轴与短半轴的关系即可.当焦点在x轴时，若∠APB≥120°，则⇒0<k≤，当焦点在y轴时，若∠APB≥120°，则⇒k≥12.故k∈∪[12，＋∞)，由选项可知，AD符合题意.5.过点M(－2，0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为(　　)A.2   B.－2  C.   D.－答案　D解析　设直线m与x2＋2y2＝2的交点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则中点P(x0，y0)，且x0＝，y0＝，将P1(x1，y1)，P2(x2，y2)代入x2＋2y2＝2，可得x＋2y＝2，x＋2y＝2，以上两式相减，可得x－x＋2(y－y)＝0，则由于k1＝，k2＝＝，所以1＋2·＝0，即1＋2k1k2＝0，所以k1k2＝－.6.直线y＝x＋2与椭圆＋＝1(m>0且m≠3)有两个公共点，则m的取值范围是________.答案　(1，3)∪(3，＋∞)解析　由消y可得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，∴Δ＝(4m)2－4m(3＋m)>0，解得m>1或m<0.又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.7.若直线y＝x＋1和椭圆＋＝1交于A，B两点，则线段AB的长为________.答案　解析　由消y得3x2＋4x－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝－，x1＋x2＝－，所以|AB|＝×＝.8.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________.答案　解析　设M(x，y)，∵·＝0，∴点M的轨迹方程是x2＋y2＝c2，点M的轨迹是以原点为圆心的圆，其中F1F2为圆的直径.由题意知，椭圆上的点P总在圆外，∴|OP|>c恒成立，由椭圆性质知|OP|≥b，∴b>c，∴a2>2c2，∴<，∴0<e<.9.已知椭圆E的两个焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点C在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程；(2)若点P在椭圆E上，且t＝·，求实数t的取值范围.解　(1)依题意，设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，由已知c＝1，所以a2－b2＝1.①因为点C在椭圆E上，所以＋＝1.②由①②得，a2＝4，b2＝3.故椭圆E的方程为＋＝1.(2)设P(x0，y0)，由·＝t，得(－1－x0，－y0)·(1－x0，－y0)＝t，即x＋y＝t＋1.③因为点P在椭圆E上，所以＋＝1.④由③得y＝t＋1－x，代入④，并整理得x＝4(t－2).⑤由④知，0≤x≤4，⑥结合⑤⑥，解得2≤t≤3.故实数t的取值范围为[2，3].10.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P，离心率是.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，求直线l与坐标轴围成三角形的面积.解　(1)由已知可得e＝＝，＋＝1，c2＝a2－b2，解得a＝2，b＝1.∴椭圆的方程为＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程得＋y＝1，＋y＝1，两式相减得＋(y1－y2)·(y1＋y2)＝0，由中点坐标公式得x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.∴kAB＝＝－可得直线AB的方程为y－＝－，令x＝0，可得y＝，令y＝0，可得x＝，则直线l与坐标轴围成的三角形面积为S＝××＝.二、能力提升11.(多选)设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点.下列结论正确的是(　　)A.直线AB与OM垂直B.若点M坐标为(1，1)，则直线方程为2x＋y－3＝0C.若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为D.若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝答案　BD解析　因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质kAB·kOM＝－＝－2≠－1，所以A不正确；根据kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B正确；若直线方程为y＝x＋1，点M，则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C不正确；若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程＋＝1联立，得到2x2＋(x＋2)2－4＝0，整理得3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－，所以|AB|＝＝，所以D正确.12.设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________.答案　(0，±1)解析　根据题意，知F1(－，0)，F2(，0).设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(c，d).可得＝(m＋，n)，＝(c－，d).∵＝5，∴∴c＝，d＝.∵点A，B都在椭圆上，∴＋n2＝1，＋＝1.解得m＝0，n＝±1，故点A坐标为(0，±1).13.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，P是C上一点，F1，F2是C的两个焦点，且|PF1|＋|PF2|＝4.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线y＝x＋n交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值.解　(1)∵|PF1|＋|PF2|＝4，∴2a＝4，即a＝2.∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝2，即椭圆方程为＋＝1.(2)设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，将y＝x＋n代入椭圆C的方程，整理得5x2＋4nx＋2n2－4＝0，Δ＝32n2－20(2n2－4)>0，∴n2<10，∴x1＋x2＝－，x1x2＝，∴|AB|＝·＝·，点O到直线AB的距离d＝，∴S△OAB＝×|AB|×d＝×××＝×≤××(10－n2＋n2)＝，∴当且仅当10－n2＝n2，即n2＝5时取等号，∴△OAB面积的最大值为.三、创新拓展14.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且△F1AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则＋的取值范围为(　　)A.[1，2]   B.[，]C.[，4]   D.[1，4]答案　D解析　由椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为2b＝2，得b＝1.又S△F1AB＝(a－c)b＝，解得a－c＝2－，又a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝b2＝1，∴a＝2，c＝，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，设|PF1|＝x，则|PF2|＝4－x，x∈[a－c，a＋c]，即x∈[2－，2＋]，∴＋＝＋＝∈[1，4].