【最新版】高中数学（新人教A版）习题+同步课件进阶训练6(范围：3.2～3.3)

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进阶训练6(范围：3.2～3.3)一、基础达标1.双曲线－y2＝1的焦点坐标是(　　)A.(－，0)，(，0)  　 B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－)，(0，)  　 D.(0，－2)，(0，2)答案　B解析　由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0).故选B.2.双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)A.3x±4y＝0   B.4x±3y＝0C.9x±16y＝0   D.16x±9y＝0答案　A解析　由－＝1得a2＝16，b2＝9，即a＝4，b＝3，∴渐近线方程为y＝±x，即3x±4y＝0.3.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是(　　)A.   B. C.   D.3答案　A解析　设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为，当m＝时，取得最小值.4.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为(　　)A.－＝1   B.－＝1C.－＝1   D.－＝1答案　A解析　双曲线C的渐近线方程为y＝±x，点P(2，1)在渐近线上，∴＝1，即a2＝4b2，又a2＋b2＝c2＝25，解得b2＝5，a2＝20，故选A.5.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)A.2   B.3 C.   D.答案　A解析　易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度，其中F(1，0)为抛物线y2＝4x的焦点.由图可知，距离和的最小值即F到直线l1的距离d＝＝2.6.若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________.答案　9解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9.7.若双曲线－＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________.答案　4解析　双曲线－＝1的标准方程为－＝1，由此c2＝3＋，左焦点为.由y2＝2px得准线为x＝－，∴－ ＝－，又p>0，∴p＝4.8.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________.答案　解析　设双曲线的焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，虚轴两个端点为B1(0，－b)，B2(0，b)，因为c>b，所以只有∠B1F1B2＝60°，则∠OF1B1＝30°，∴tan 30°＝，∴c＝b，又a2＝c2－b2＝2b2，∴a＝b.∴e＝＝＝.9.若k是实数，试讨论方程kx2＋2y2－8＝0表示何种曲线.解　当k<0时，曲线方程化为－＝1，表示焦点在y轴的双曲线；当k＝0时，曲线方程化为2y2－8＝0，即y＝±2，表示两条垂直于y轴的直线；当0<k<2时，曲线方程化为＋＝1，表示焦点在x轴的椭圆；当k＝2时，曲线方程化为x2＋y2＝4，表示一个圆；当k>2时，曲线方程化为＋＝1，表示焦点在y轴的椭圆.10.如图，已知抛物线C：y2＝2px过点A(1，1).(1)求抛物线C的方程.(2)过点P(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合).设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值.(1)解　由题意得2p＝1，所以抛物线方程为y2＝x.(2)证明　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝t(y＋1)＋3，代入抛物线方程，整理得y2－ty－t－3＝0.因为Δ＝(t＋2)2＋8>0，所以y1＋y2＝t，y1y2＝－t－3.所以k1k2＝·＝·＝＝＝＝－，故k1k2是定值.二、能力提升11.已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)A.   B.2  C.   D.答案　D解析　不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M点的坐标为(2a，a).∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，∴c＝a，e＝＝.故选D.12.(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点.若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则(　　)A.△ABF是等边三角形B.|BF|＝3C.点F到准线的距离为3D.抛物线C的方程为y2＝6x答案　ACD解析　∵以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°.∵△ABF的面积为|BF|2＝9，∴|BF|＝6.又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，则该抛物线的方程为y2＝6x.故选ACD.13.已知点A(－，0)和B(，0)，动点C到A，B两点的距离之差的绝对值为2.(1)求点C的轨迹方程；(2)点C的轨迹与经过点(2，0)且斜率为1的直线交于D，E两点，求线段DE的长.解　(1)∵点A(－，0)和B(，0)，动点C到A，B两点的距离之差的绝对值为2.又|AB|＝2>2，∴点C的轨迹方程是以A(－，0)和B(，0)为焦点的双曲线，且a＝1，c＝，∴点C的轨迹方程是x2－＝1.(2)∵点C的轨迹方程是2x2－y2＝2，经过点(2，0)且斜率为1的直线方程为y＝x－2.∴联立得x2＋4x－6＝0，设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1＋x2＝－4，x1x2＝－6，∴|DE|＝＝4.故线段DE的长为4.三、创新拓展14.过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程.解　(1)抛物线x2＝2py的准线方程为y＝－，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，∴1＋＝2，∴p＝2，抛物线C的方程为x2＝4y.(2)∵M(－2，y0)在C上，∴y0＝＝1，即M(－2，1).又F(0，1)，设l的方程为y＝kx＋1，由得x2－4kx－4＝0，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，＝(x1＋2，y1－1)，＝(x2＋2，y2－1)，∵MA⊥MB，∴·＝0，∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，∴－4＋8k＋4－4k2＝0，∴k＝2或0，当k＝0时，l过M点(舍)，当k＝2时，l不过M点，∴k＝2，∴l的方程为y＝2x＋1.