【最新版】高中数学（新人教A版）习题+同步课件培优课　空间直角坐标系的构建策略

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培优课　空间直角坐标系的构建策略第一章　空间向量与立体几何利用空间向量的方法解决立体几何中空间元素的位置关系、空间角、空间距离等问题，关键是依托图形建立适当空间直角坐标系，将直线的方向向量、平面的法向量用坐标表示，通过向量运算完成.如何建立空间直角坐标系，写出点的坐标是前提，下面主要介绍空间直角坐标系建系的几种方法.例1 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点.(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；解　以点A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，4)，D(1，1，0)，C1(0，2，4)，(2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值.0例2 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.解　取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，例3 如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点.(1)证明：EF⊥BC；证明　连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC.如图，以点E为坐标原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz.(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.例4 如图，在正四棱锥S－ABCD中，AB＝2，SA＝3，P为侧棱SD上的点.(1)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面DAC夹角的余弦值；解　如图，连接BD，交AC于点O，连接SO，由题意，知SO⊥平面ABCD，AC⊥BD，∴OS，OB，OC两两垂直.(2)若SP＝2PD，侧棱SC上是否存在一点E(不与点S，C重合)，使得BE∥平面PAC？若存在， 求出SE∶EC的值；若不存在，请说明理由.