【最新版】高中数学（新人教A版）习题+同步课件章末检测卷（一）

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章末检测卷(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
第一章　空间向量与立体几何
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
B
1.与向量a＝(－1，2，－3)平行的一个向量的坐标是(　　)
A
把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.
D
4.已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，3，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　若向量a，b，c共面，则c＝xa＋yb，其中x，y∈R， 即(1，3，λ)＝(2x，－x，3x)＋(－y，4y，－2y) ＝(2x－y，－x＋4y，3x－2y)，
A
C
解析　因为点D在平面yOz内，所以点D的横坐标为0，又BC＝4，原点O是BC的中点，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，
D
解析　设平面ABCD的法向量为n＝(x，y，z)，
B
不妨令x＝3，则y＝12，z＝4，可得n＝(3，12，4)，
解析　如图所示，建立空间直角坐标系，
A
设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
ABC
10.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE的值可能是(　　)
AC
A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A－BEF的体积为定值D.异面直线AE，BF所成的角为定值
ABC
解析　因为AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D，所以AC⊥BE，故A正确；因为B1D1∥平面ABCD，又E，F在直线D1B1上运动，所以EF∥平面ABCD，故B正确；
①当点E在D1处，点F为D1B1的中点时，建立空间直角坐标系，
解析　如图所示，以BD中点O为坐标原点，OD，OA，OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
ABD
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，a与b夹角的余弦值为________；若a⊥(a－λb)，则λ＝______(本题第一空2分，第二空3分).
2
解析　∵a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，
由题意a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，又a2＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.
14.已知点A(－1，1，－1)，平面α经过原点O，且垂直于向量n＝(1，－1，1)，则点A到平面α的距离为________.
15.已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为________.
解析　设正四面体棱长为4，
四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
(2)求AE与平面PFQ间的距离.
20. (12分)如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为BC和AC的中点，PA＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点.
(1)求证：AE∥平面PFQ；
证明　如图所示，以A为坐标原点，平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系.
∵AP＝2，AB＝BC＝AC＝4，又E，F分别是BC，AC的中点，
(2)求AE与平面PFQ间的距离.
解　由(1)知，AE∥平面PFQ，∴点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离.设平面PFQ的法向量为n＝(x，y，z)，
21.(12分)如图，在多面体ABC­A1B1C1中，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.
(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；
证明　如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.
(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.
22.(12分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点.
(1)求证：B1E⊥AD1；
设AB＝a，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；
(3)若平面AB1E与平面A1B1E夹角的大小为30°，求AB的长.