【最新版】高中数学（新人教A版）习题+同步课件培优课 离心率的计算

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培优课　离心率的计算离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，求离心率的方法主要有：(1)通过已知条件列出方程组，解出a，c的值；(2)由a，b的关系求离心率e＝(椭圆)或e＝(双曲线)；(3)由已知条件得关于a，c的齐次式，再转化为关于e的一元二次方程；(4)通过特殊值或特殊位置求离心率；(5)在焦点三角形内求离心率.类型一　以焦点三角形求离心率例1 以F1和F2为焦点的双曲线－＝1(a>0，b>0)中，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________.答案　＋1解析　法一　如图，连接AF1，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.易知△AF1F2为直角三角形，则|AF1|＝|F1F2|＝c，|AF2|＝c，∴2a＝(－1)c，从而双曲线的离心率e＝＝1＋.法二　如图，连接AF1，易得∠F1AF2＝90°，β＝∠F1F2A＝30°，α＝∠F2F1A＝60°，于是离心率e＝＝＝＝＝＋1.例2 椭圆＋＝1的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝120°，求椭圆的离心率的范围.解　在△PF1F2中，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F1PF2＝θ，由余弦定理得cos θ＝＝＝－1≥－1＝－1＝1－2e2即e2≥＝sin2 .∴e≥sin ，当且仅当m＝n时等号成立，即P为短轴端点，又存在∠F1PF2＝120°，∴e≥sin 60°，∴≤e<1.注意：椭圆焦点三角形△PF1F2中，∠F1PF2＝θ，当P为短轴端点时，θ最大，且椭圆离心率e≥sin ，S△PF1F2＝b2tan .类型二　寻齐次方程求离心率例3 已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________.答案　2解析　如图，由题意知|AB|＝，|BC|＝2c.又2|AB|＝3|BC|，∴2·＝3×2c，即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去).例4 已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为________.答案　解析　在△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c.由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝.因为0<e<1，所以e＝.类型三　求离心率的取值范围例5 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是________.答案　解析　设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.设M(0，b)，则≥，∴1≤b<2.离心率e＝＝＝＝∈.例6 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在点P，使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为(　　)A.(0，－1)  B.C.   D.(－1，1)答案　D解析　在△PF1F2中，由正弦定理得＝，又＝，则＝＝e.又因为a－c≤|PF2|≤a＋c，则e＝＝－1∈，即<e<，解得－1<e<1.