高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用课文配套ppt课件

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用课文配套ppt课件
第一章　空间向量与立体几何第三课时　空间中直线、平面的垂直课标要求1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系.素养要求利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系，判定直线、平面的垂直关系，培养学生的数学运算、直观想象素养和逻辑推理素养.问题导学预习教材必备知识探究 内容索引互动合作研析题型关键能力提升拓展延伸分层精练核心素养达成WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU问题导学预习教材 必备知识探究1一、直线和直线垂直1.思考　如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，当直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？提示　垂直.2.填空　两直线垂直的判定方法 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则 l1⊥l2⇔____________⇔________________. 温馨提醒　两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直.u1⊥u2u1·u2＝0A3.做一做　若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则(　　) A.l1∥l2 B.l1⊥l2 C.l1，l2相交但不垂直 　 D.不能确定解析　∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.二、直线与平面垂直1.思考　如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直平面α时，u，n之间有什么关系？提示　平行(共线).2.填空　直线和平面垂直的判定方法 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔________⇔∃λ∈R，使得__________. 温馨提醒　证明直线与平面垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直才可.u∥nu＝λnA3.做一做　已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)三点，n＝(1，1，1)，则以n为方向向量的直线与平面ABC的位置关系是(　　) A.垂直 B.不垂直 C.平行 D.以上都有可能三、平面与平面垂直1.思考　设n1，n2分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直平面β时，n1，n2之间有什么关系？提示　垂直.2.填空　平面和平面垂直的判定方法 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 α⊥β⇔____________⇔________________. 温馨提醒　若证明面面垂直，则证两平面的法向量垂直.n1⊥n2n1·n2＝03.做一做　已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________. 解析　∵平面α与平面β垂直， ∴平面α的法向量u与平面β的法向量v互相垂直， ∴u·v＝0，即－1·t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG互动合作研析题型 关键能力提升2向量法证明线线垂直的思路方法用向量法证明空间中两条直线l1，l2相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量a，b相互垂直，只需证明a·b＝0即可，具体方法有以下两种：(1)坐标法：用坐标表示出两条直线的方向向量，计算出两向量的数量积为0.(2)向量法：将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，计算出两向量的数量积为0.训练1 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AC的中点.求证：(1)BD1⊥AC；证明　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，(2)BD1⊥EB1.例2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点. 求证：EF⊥平面B1AC.用向量法证明线面垂直的两种思路(1)证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直.(2)证明直线的方向向量与平面的法向量平行.训练2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点.求证：EF⊥平面PAB.证明　以D为坐标原点，DA的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.设E(a，0，0)，其中a＞0，则C(2a，0，0)，A(0，1，0)，B(2a，1，0)，所以EF⊥PB，EF⊥AB.又PB⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PB∩AB＝B，所以EF⊥平面PAB.例3 如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.(1)求证：AC⊥BF；向量法证明面面垂直的两种思路(1)证明两个平面的法向量垂直.(2)根据面面垂直的判定定理，证明一个平面内的向量垂直于另一个平面.训练3 在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC.证明　法一　如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.令PA＝PB＝PC＝3，则A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，3)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)，P(0，0，0)，课堂小结1.重要思想与方法 (1)利用向量证明直线、平面垂直的两种方法： 一是用一组基底表示直线的方向向量、平面的法向量，把线、面的位置关系转化为向量的关系，利用向量的运算进行判断； 二是用向量的坐标表示直线的方向向量、平面的法向量，把直线、平面的位置关系转化为向量的共线或数量积的运算问题. (2)利用向量证明直线、平面垂直体现了转化与化归的思想方法.2.易错易混点提醒 分清直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应，不要混淆.TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG拓展延伸分层精练 核心素养达成31.设直线l1的一个方向向量为a＝(2，1，－2)，直线l2的一个方向向量为b＝(2，2，m)，若l1⊥l2，则m＝(　　) A.1 B.－2 C.－3 D.3 解析　∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝2×2＋1×2＋(－2)·m＝0，∴m＝3.D2.已知平面α的一个法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝(　　) A.4 B.－4 C.5 D.－5 解析　∵α⊥β，∴a⊥b， ∴a·b＝－2－8－2k＝0， ∴k＝－5.DB4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　) A.AC B.BD C.A1D D.A1AB解析　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.B即3＋5－2z＝0，得z＝4，6.已知u＝(a＋b，a－b，2)是直线l的一个方向向量，n＝(2，3，1)是平面α的一个法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为________.5，－1解析　∵l⊥α，∴u∥n，∴a＝5，b＝－1.8.已知空间三点A(0，0，1)，B(－1，1，1)，C(1，2，－3)，若直线AB上一点 M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________________.9.在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E. 证明　以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(a，0，a)，C1(0，a，a).设AE＝BF＝x，则E(a，x，0)，F(a－x，a，0).求证：PD⊥平面ABE.证明　∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∴AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设PA＝AB＝BC＝1，则P(0，0，1)，11.(多选)如图，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是(　　)BC二、能力提升解析　建立以D为坐标原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，12.如图，已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E，C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有________条.1解析　假设存在满足条件的直线MN，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设正方体的棱长为2，则D1(2，0，2)，E(1，2，0)，所以(x－2，y，z－2)＝m(－1，2，－2)，x＝2－m，y＝2m，z＝2－2m，所以M(2－m，2m，2－2m)，即存在满足条件的直线MN，有且只有一条.13.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，点E为BB1的中点.证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C.证明　由题意得AB，BC，B1B两两垂直.以点B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1).令x1＝1，得y1＝1.∴n1＝(1，1，0).设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2).令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴n2＝(1，－1，4).∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.14.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0＜λ＜2).三、创新拓展(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；证明　以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)，M(2，1，2)，N(1，0，2)，又BC1与FP无公共点，所以BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ，使平面EFPQ⊥平面PQMN？若存在，求出实数λ的值；若不存在，说明理由.解　假设存在符合题意的λ.设平面EFPQ的法向量为n＝(x，y，z)，则于是可取n＝(λ，－λ，1).同理可得平面PQMN的一个法向量为m＝(λ－2，2－λ，1).则m·n＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，