高中数学1.2 空间向量基本定理课堂教学免费ppt课件

这是一份高中数学1.2 空间向量基本定理课堂教学免费ppt课件，文件包含第二课时用空间向量研究夹角问题pptx、第二课时用空间向量研究夹角问题DOCX等2份课件配套教学资源，其中PPT共60页， 欢迎下载使用。

1.能用向量方法解决简单夹角问题.2.通过用空间向量解决夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
通过学习空间角的计算步骤和方法，把两异面直线所成的角、线面角、二面角转化为向量的夹角求解，培养学生的直观想象素养和数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、两条异面直线所成的角1.思考　两个向量a，b的夹角的余弦值是什么？
3.做一做　设两条异面直线a，b的方向向量分别为a＝(－1，1，0)，b＝(0，－1，1)，则a与b所成的角为(　　)
解析　设直线a与b所成的角为θ，则
二、直线和平面所成的角1.思考　直线的方向向量与平面的法向量所成的角是直线与平面所成的角？提示　不是.
2.填空　直线和平面所成的角
温馨提醒　(1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.
(3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角.
3.做一做　设直线a的方向向量为a＝(－1，2，1)，平面α的法向量为b＝(0，1，2)，则直线a与平面α所成角的正弦值为________.
三、两个平面的夹角1.思考　(1)如图，图中有几个二面角？两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角有什么关系？
提示　图中有四个二面角，夹角与二面角相等或互补.(2)平面与平面的夹角与两平面的法向量的夹角有何关系？提示　两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角.
(1)两平面的夹角平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面 β的夹角.(2)两平面夹角的计算设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则
3.做一做　已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面的夹角的大小为(　　)A.45° B.60°C.90° D.135°
∴两平面的夹角的大小为45°.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 在三棱锥P－ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P－BC－A的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为(　　)
解析　法一　如图，取BC的中点O，连接OP，OA，
因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，从而平面PAO⊥平面ABC，且∠POA就是二面角P－BC－A的平面角，即∠POA＝120°，建立空间直角坐标系如图所示.
法二　如图所示，取BC的中点O，连接OP，OA，
因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角P－BC－A的平面角.
用坐标法求异面直线所成的角的一般步骤是：(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；(4)结合异面直线所成的角的范围求出异面直线所成的角.
建立如图所示的空间直角坐标系，
解　建立如图所示的空间直角坐标系，则
训练2 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为(　　)
解析　以D为原点建立空间直角坐标系，可求得平面BDE的法向量n＝(1，－1，2)，
例3 如图，在正方体ABEF－DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，求平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值.
解　设正方体棱长为1.以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，
因为△AMN，△BMN为等腰三角形，所以AG⊥MN，BG⊥MN，故∠AGB(或其补角)为两平面夹角.
利用坐标法求两个平面夹角的步骤是：(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出两个面所在平面的法向量的坐标；(3)求两个法向量的夹角；(4)确定两平面夹角的大小.
训练3 已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为(　　)A.30° B.45° C.60° D.90°
解析　如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1，则A(0，0，0)，
D(0，1，0)，P(0，0，1).
1.重要思想与方法(1)空间向量与空间角的关系设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cs θ＝ |cs〈m1，m2〉|.设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cs〈m，n〉|.设n1，n2分别是两个平面α，β的法向量，则两平面α，β夹角θ满足cs θ＝ |cs〈m，n〉| .(2)利用空间向量求空间角体现了数形结合与转化化归的思想方法.2.易错易混点提醒混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念与向量求法，空间角范围.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则(　　)A.α＝θ B.α＝π－θC.cs θ＝|cs α| D.cs α＝|cs θ|
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则
4.在一个锐二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个锐二面角的两个半平面的夹角的余弦值为(　　)
5.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)
解析　如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，
B(2，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，1)，C1(0，2，1)，
6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角的大小为________.
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，A1P＝x(0≤x≤2)，
7.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________.
解析　以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图.设AA1＝2AB＝2，则D(0，0，0)，
C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，
8.在空间中，已知平面α过A(3，0，0)和B(0，4，0)及z轴上一点P(0，0，a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________.
解　取BD的中点O，连接OA，OC.由题意知OA，OC，BD两两垂直.以O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，
10.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点.
(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
解　如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，设AC，A1C1 的中点分别为O，O1，连接OB，OO1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB.以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为AB＝AA1＝2，所以A(0，－1，0)，
(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.
11.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为(　　)
解析　不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2，可得B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，
12.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面BDC1的一个法向量是______________(答案不唯一，写出一个坐标即可)，直线CB1与平面BDC1所成角的正弦值等于________.
设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，
解　假设存在点E，设AE＝a(0≤a≤4).
(1)取PC的中点N，求证：DN∥平面PAB；
证明　取BC的中点E，连接DE，交AC于点O，连接ON，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，B(2，－1，0)，C(0，1，0)，D(－1，0，0)，P(0，－1，2).∵点N为PC的中点，
(2)求直线AC与PD所成角的余弦值；
(3)在线段PD上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由.