数学选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.1 空间中的点、直线与空间向量背景图免费课件ppt

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1.了解直线的方向向量.2.会用向量方法证明线线平行、垂直，会利用向量求两条直线所成的角.
1.通过对直线的方向向量的理解，提升学生的数学抽象素养.2.通过用向量方法证明(判断)线线平行、垂直及计算两直线所成角，提升学生的数学运算等素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、空间中直线的方向向量1.思考　空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l?
2.填空　如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个__________.此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l.
温馨提醒　(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合.(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个.
3.做一做　若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)A.(1，2，3) B.(1，3，2)C.(2，1，3) D.(3，2，1)
二、空间两条直线的位置关系1.思考　两条相交直线所成的角如何定义？异面直线所成的角如何定义？提示　两条相交直线成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角).
2.填空　(1)空间中两条直线所成的角设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ.如图(1)(2)所示，可以看出θ＝〈v1，v2〉或θ＝_________________.则sin θ＝sin〈v1，v2〉或cs θ＝_________________.
|cs〈v1，v2〉|
(2)公垂线段一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2，则称MN为l1与l2的__________，空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一.两条异面直线的__________的长，称为这两条异面直线之间的距离.
3.做一做　若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于________.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
题型一　空间中的直线与空间向量
例1 (1)已知a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量.若l1∥l2，则(　　)
(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，G、H分别为AD，B1C1的中点，判断EG与FH是否平行.
证明　如图所示，建立空间直角坐标系.则E(2，2，1)，G(1，0，0)，F(0，0，1)，H(1，2，2).
显然EG与FH不重合，故EG∥FH.
证两条直线平行可以转化为证明两直线的方向向量平行.利用直线的方向向量证明直线与直线平行时，要注意两向量所在的直线无公共点.
训练1 已知l1的方向向量为v1＝(1，2，3)，l2的方向向量为v2＝(λ，4，6)，若l1∥l2，则λ＝(　　)A.1 B.2 C.3 D.4
题型二　利用空间向量证明垂直问题
证明　设AB中点为O，作OO1∥AA1，连接OC.
将线线垂直问题转化为向量垂直问题后，注意是选择基向量法还是坐标法，熟练掌握证明线线垂直的向量方法是关键.
训练2 已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，若侧棱C1C的中点为D，求证：AB1⊥A1D. 证明　设AB中点为O，作OO1∥AA1，连接OC，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
题型三　求异面直线所成的角
例3 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值.解　不妨设正方体棱长为2，分别取DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，0，2)，F(1，1，2)，
1.掌握2种基本概念(1)直线的方向向量；(2)公垂线段.2.学会2种方法(1)用直线的方向向量来证明直线的平行、垂直问题；(2)用向量法求两条异面直线所成的角.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2，2，1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝(　　)A.－2 B.2 C.6 D.10解析　由l1⊥l2，得a·b＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，∴m＝10.
2.在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段AA1的中点，F为线段C1D1上靠近D1的三等分点，则异面直线A1B与EF所成角的余弦值为(　　)
3.若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则(　　)A.l1∥l2 B.l1⊥l2C.l1，l2相交但不垂直 D.不能确定
解析　∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB的中点，则对角线DB1与CM所成的角θ的余弦值为(　　)
A.EF与A1D垂直B.EF与AC垂直C.EF与BD1相交D.EF与BD1异面
解析　①当k＝0时，a与b不平行.
7.两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1，0，－1)，v2＝(－2，0，2)，则l1与l2的位置关系是________.
8.如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点，则异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为________.
解析　以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，
9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为CC1的中点，M为CD的中点.证明：(1)BF∥D1E；
(2)BE不与D1M平行；(3)BE⊥C1M.
10.在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.
(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；
解　如图，以D为原点，以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2，∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0).由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，∴∠PAD＝60°.
(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值.
11.(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD－A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是(　　)
解析　以顶点A为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是60°，
12.三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________.
因为底面边长和侧棱长都相等，且∠BAA1＝∠CAA1＝60°，
13.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，PA⊥底面ABCD，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝AP＝2，E为PD的中点.以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系O－xyz.
解　由已知可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，
(2)求异面直线AE与CD所成的角；
(3)设n＝(1，p，q)，满足n⊥平面PCD，求n的坐标.
解　∵n⊥平面PCD，∴n⊥PD，n⊥CD，
14.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，
AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.(1)证明：PC⊥AD；
(2)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.