人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程备课ppt课件

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1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决相关问题.3.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.
1.通过椭圆概念的引入和椭圆标准方程的推导，培养学生的数学抽象和直观想象素养.2.通过椭圆标准方程的求解及应用，培养学生的数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、椭圆的定义1.思考　取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
提示　椭圆.笔尖到两个定点的距离的和等于常数，并且该常数大于两点F1，F2之间的距离.
2.填空　如果F1，F2是平面内的两个______，a是一个常数，且2a____|F1F2|，则平面内满足___________________的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的______，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的______.
|PF1|＋|PF2|＝2a
温馨提醒　(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.(2)定值必须大于两定点的距离.(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段.(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在.
3.做一做　设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是(　　)A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
二、椭圆的标准方程1.思考　如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
2.填空　椭圆的标准方程
温馨提醒　(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a.(2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上.
3.做一做　已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为______________.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
题型一　椭圆的定义的理解
例1 点P(－3，0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹.解　方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3，0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M以两定点C，P的距离之和为定值8＞6＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆.
定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.常数必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件.
训练1　如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的垂直平分线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是(　　)
解析　连接EA，∵CD垂直平分AB，∴|EB|＝|EA|，设圆的半径为r，则|EO|＋|EA|＝|EO|＋|EB|＝r＞|OA|，故点E的轨迹是以O，A为焦点的椭圆.
题型二　求椭圆的标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
解　∵椭圆的焦点在y轴上，
法二　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n).
确定椭圆标准方程的方法(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式.(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解.
(2)椭圆的两个焦点分别为(0，－4)和(0，4)，且椭圆上一点P到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为________________.
解析　依题意，c＝4，且焦点在y轴上，又∵2a＝10，∴a＝5，∴b2＝a2－c2＝9，
题型三　椭圆定义的简单应用
在△F1PF2中，由余弦定理知|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs 30°＝|F1F2|2＝(2c)2＝4.②①式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20.③
由椭圆上的点、两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多，要充分理解题意，分析条件，经常利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式.在解题中，经常把|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理.
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4，所以|PF2|＝4－|PF1|.从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4.
1.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是通过待定系数法求解，二是通过椭圆的定义进行求解.2.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)求解，避免分类讨论，从而简化运算.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
2.已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是(　　)A.1 B.2 C.3 D.4
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
所以14.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是(　　)A.当a＝2时，点P的轨迹不存在B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
解析　当a＝2时，2a＝4＜|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；当a＝4时，2a＝8＞|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误.
A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
解析　由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.
解析　由|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，得a＝2，
所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y轴上，
∴由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝100.又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝100，即196－2|PF1|·|PF2|＝100.解得|PF1|·|PF2|＝48.
9.求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，
所以c＝5，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝3，∴△ABF2的周长为C＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝|AF2|＋|BF2|＋|AF1|＋|BF1|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝6.
解析　∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，
解析　由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
13.已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3).若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程.
焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0).
14.已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|.(1)求点P的轨迹方程；
解　依题意知|F1F2|＝2，|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>2＝|F1F2|，∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且2a＝4，2c＝2，
(2)若∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积.
解　设m＝|PF1|，n＝|PF2|，则m＋n＝2a＝4.在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝m2＋n2－2mncs∠F1PF2，∴4＝(m＋n)2－2mn(1＋cs 120°)，解得mn＝12.