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高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章 平面解析几何2.7 抛物线及其方程2.7.1 抛物线的标准方程教课ppt课件
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这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章 平面解析几何2.7 抛物线及其方程2.7.1 抛物线的标准方程教课ppt课件，文件包含271抛物线的标准方程pptx、271抛物线的标准方程DOCX等2份课件配套教学资源，其中PPT共46页， 欢迎下载使用。
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线的方程.3.能利用抛物线定义、标准方程解决有关问题.
通过从实例中抽象出抛物线的概念，推导抛物线的标准方程的过程，利用抛物线的定义、标准方程解决有关问题，培养学生的数学抽象、直观想象和数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、抛物线的定义1.思考 如图所示，在画板上画一条直线l，使l与画板左侧的边线平行；再在直线l外画一个定点F.取一个丁字尺靠紧画板左侧外沿，丁字尺和直线l垂直且相交于点P，在丁字尺的另一端取一点Q，将一条长度等于|PQ|的细绳，一端固定在点Q，另一端固定在点F，用笔尖点M靠着丁字尺边缘并扣紧细绳，然后上下平移丁字尺，笔尖作出的曲线是抛物线的一部分.点M在运动过程中，|MF|＋|MQ|等于多少？|MF|与|MP|之间满足什么关系？
提示 点M在运动过程中，|MF|＋|MQ|＝|PQ|，|MF|＝|MP|.
2.填空 一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离______的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的______，定直线l称为抛物线的______.
温馨提醒 (1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1).(2)若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线.
二、抛物线的标准方程1.思考 类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？
2.填空 抛物线标准方程的几种形式
温馨提醒 (1)抛物线的标准方程中参数p的几何意义是焦点到准线的距离.所以p的值永远大于0.(2)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的符号.(3)焦点在抛物线开口方向的内部，而准线在外部，即“怀抱焦点，背着准线”.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
题型一 求抛物线的标准方程
例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为(－2，0)；
(2)准线方程为y＝－1；
(3)过点A(2，3)；
解 由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点A(2，3)的坐标代入，得32＝m·2或22＝n·3，
求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0).
训练1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点(3，－4)；
解 法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px (p>0)或x2＝－2p1y (p1>0).把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，
(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
解 令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0).∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
题型二 抛物线定义的应用
例2 如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，准线为l，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标.
如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，
抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边之间的关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等.
训练2 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
解析 如图，由抛物线定义知
|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|，则所求距离之和的最小值转化为求|PA|＋|PF|的最小值，则当A，P，F三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值.
题型三 抛物线的实际应用
例3 喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？解 如图所示，建立直角坐标系，则C(5，－5).
设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)，因此2p＝5，所以抛物线的方程为x2＝－5y，点A(－4，y0)在抛物线上，
所以管柱OA的长为1.8 m.
在抛物线的实际应用中，常以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用.
训练3 某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货的木船露在水面上的部分为0.75 m，货物的宽度与木船相同，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？解 以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系.(如图)设抛物线的方程是x2＝－2py(p>0)，
设水面上涨，木船货物上表面两侧与抛物线形拱桥接触于B，B′时，木船开始不能通航.
故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2 m时，木船开始不能通航.
1.抛物线的定义(1)不要忽略条件：点F不在直线l上；(2)利用定义可以把抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化.2.抛物线的四种形式的标准方程(1)要注意数形结合，按照先定形后定量的顺序求解；(2)当开口方向不确定时，应分类讨论；(3)焦点在x轴上时可设为y2＝2mx(m≠0)，焦点在y轴上时可设方程为x2＝2my(m≠0).
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是( )A.y2＝－xB.x2＝－8yC.y2＝－8x或x2＝－yD.y2＝－x或x2＝－8y解析 当焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线的标准方程为y2＝－x；当焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2＝ny(n≠0)，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线的标准方程为x2＝－8y.
2.已知抛物线x2＝4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为2，则点M的纵坐标是( )
解析 根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0，1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线定义，得yM＋1＝2，解得yM＝1.
3.若动点P与定点F(1，1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线解析 法一 设动点P的坐标为(x，y).
整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.所以动点P的轨迹为直线.
法二 显然定点F(1，1)在直线l：3x＋y－4＝0上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线.
4.已知抛物线y2＝2px (p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
5.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
6.动点到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是________________________________________.
以(3，0)为焦点，x＝－3为准线的抛物线
∴抛物线的标准方程为y2＝16x.
9.分别求符合下列条件的抛物线的标准方程. (1)经过点(－3，－1)；
解 因为点(－3，－1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0).若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，
(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点.
解 对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
10.已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程.解 设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，
12.已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为( )A.1 B.2 C.3 D.4
13.已知定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，求M点到y轴的最短距离.
14.已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是( )
解析 由题意知，抛物线的焦点为F(1，0).设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线的方程.3.能利用抛物线定义、标准方程解决有关问题.
通过从实例中抽象出抛物线的概念，推导抛物线的标准方程的过程，利用抛物线的定义、标准方程解决有关问题，培养学生的数学抽象、直观想象和数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
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WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、抛物线的定义1.思考 如图所示，在画板上画一条直线l，使l与画板左侧的边线平行；再在直线l外画一个定点F.取一个丁字尺靠紧画板左侧外沿，丁字尺和直线l垂直且相交于点P，在丁字尺的另一端取一点Q，将一条长度等于|PQ|的细绳，一端固定在点Q，另一端固定在点F，用笔尖点M靠着丁字尺边缘并扣紧细绳，然后上下平移丁字尺，笔尖作出的曲线是抛物线的一部分.点M在运动过程中，|MF|＋|MQ|等于多少？|MF|与|MP|之间满足什么关系？
提示 点M在运动过程中，|MF|＋|MQ|＝|PQ|，|MF|＝|MP|.
2.填空 一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离______的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的______，定直线l称为抛物线的______.
温馨提醒 (1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1).(2)若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线.
二、抛物线的标准方程1.思考 类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？
2.填空 抛物线标准方程的几种形式
温馨提醒 (1)抛物线的标准方程中参数p的几何意义是焦点到准线的距离.所以p的值永远大于0.(2)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的符号.(3)焦点在抛物线开口方向的内部，而准线在外部，即“怀抱焦点，背着准线”.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
题型一 求抛物线的标准方程
例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为(－2，0)；
(2)准线方程为y＝－1；
(3)过点A(2，3)；
解 由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点A(2，3)的坐标代入，得32＝m·2或22＝n·3，
求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0).
训练1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点(3，－4)；
解 法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px (p>0)或x2＝－2p1y (p1>0).把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，
(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
解 令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0).∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
题型二 抛物线定义的应用
例2 如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，准线为l，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标.
如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，
抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边之间的关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等.
训练2 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
解析 如图，由抛物线定义知
|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|，则所求距离之和的最小值转化为求|PA|＋|PF|的最小值，则当A，P，F三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值.
题型三 抛物线的实际应用
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设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)，因此2p＝5，所以抛物线的方程为x2＝－5y，点A(－4，y0)在抛物线上，
所以管柱OA的长为1.8 m.
在抛物线的实际应用中，常以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用.
训练3 某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货的木船露在水面上的部分为0.75 m，货物的宽度与木船相同，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？解 以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系.(如图)设抛物线的方程是x2＝－2py(p>0)，
设水面上涨，木船货物上表面两侧与抛物线形拱桥接触于B，B′时，木船开始不能通航.
故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2 m时，木船开始不能通航.
1.抛物线的定义(1)不要忽略条件：点F不在直线l上；(2)利用定义可以把抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化.2.抛物线的四种形式的标准方程(1)要注意数形结合，按照先定形后定量的顺序求解；(2)当开口方向不确定时，应分类讨论；(3)焦点在x轴上时可设为y2＝2mx(m≠0)，焦点在y轴上时可设方程为x2＝2my(m≠0).
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1.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是( )A.y2＝－xB.x2＝－8yC.y2＝－8x或x2＝－yD.y2＝－x或x2＝－8y解析 当焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线的标准方程为y2＝－x；当焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2＝ny(n≠0)，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线的标准方程为x2＝－8y.
2.已知抛物线x2＝4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为2，则点M的纵坐标是( )
解析 根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0，1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线定义，得yM＋1＝2，解得yM＝1.
3.若动点P与定点F(1，1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线解析 法一 设动点P的坐标为(x，y).
整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.所以动点P的轨迹为直线.
法二 显然定点F(1，1)在直线l：3x＋y－4＝0上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线.
4.已知抛物线y2＝2px (p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
5.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
6.动点到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是________________________________________.
以(3，0)为焦点，x＝－3为准线的抛物线
∴抛物线的标准方程为y2＝16x.
9.分别求符合下列条件的抛物线的标准方程. (1)经过点(－3，－1)；
解 因为点(－3，－1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0).若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，
(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点.
解 对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
10.已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程.解 设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，
12.已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为( )A.1 B.2 C.3 D.4
13.已知定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，求M点到y轴的最短距离.
14.已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是( )
解析 由题意知，抛物线的焦点为F(1，0).设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，
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