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2020-2021学年2.7.2 抛物线的几何性质课堂教学课件ppt
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这是一份2020-2021学年2.7.2 抛物线的几何性质课堂教学课件ppt，文件包含第一课时抛物线的几何性质pptx、第一课时抛物线的几何性质DOCX等2份课件配套教学资源，其中PPT共44页， 欢迎下载使用。
1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.
通过实例体会抛物线的简单几何性质，利用抛物线的简单几何性质解决简单的抛物线的问题，培养学生的直观想象和数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1.思考 类比椭圆、双曲线几何性质的研究方法，你认为抛物线C：y2＝2px(p＞0)具有哪些几何性质？这些性质是怎样与抛物线C的方程特征相对应的？ 提示 范围：根据抛物线C的方程y2＝2px(p＞0)可得C上任意一点M的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|的值也增大，这说明抛物线C在y轴的右侧，经过原点，开口向右，向右上方和右下方无限延伸.抛物线是不封闭的曲线.对称性：将y换成－y，抛物线C的方程y2＝2px(p＞0)不变，所以抛物线C关于x轴对称；而将x换成－x，方程C发生变化，所以抛物线C不关于y轴对称，同样得到抛物线C不关于原点对称.顶点：抛物线与对称轴的交点，称为抛物线的顶点，顶点是原点.
2.填空 抛物线的简单几何性质
3.做一做 若抛物线y2＝2mx的焦点与圆x2＋y2－4x＝0的圆心重合，则m的值为________.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
题型一 抛物线的几何性质
例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程及准线方程.
∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0).∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
其准线方程分别为x＝－3和x＝3.
注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.
题型二 抛物线几何性质的应用
解析 由抛物线方程知F(1，0)，准线l的方程为x＝－1.如图，
设A(x0，y0)，过A作AH⊥x轴于H，在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1，
(2)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长.解 如图所示，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.因为x1＞0，x2＞0，2p＞0，所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称，由此得∠AOx＝30°，
利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点：解决焦点弦问题.
训练2 已知抛物线y2＝8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；
解 抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，x≥0.
(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长.
由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心，
题型三 抛物线的焦点弦问题
迁移 (变结论)求弦AB的中点M到y轴的距离.
过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可.
训练3 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.
＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，
1.抛物线标准方程的几何性质(1)讨论性质时，一定要化为标准方程；(2)由几何性质求方程时，一般用待定系数法.2.几何性质的应用注意问题(1)抛物线y2＝±2px(p>0)过焦点的弦长|AB|＝x1＋x2＋p，其中x1，x2分别是点A，B横坐标的绝对值.抛物线x2＝±2py(p>0)的过焦点的弦长|AB|＝y1＋y2＋p，其中y1，y2分别是点A，B纵坐标的绝对值，要注意结合标准方程求解.(2)抛物线上的点与焦点的距离和到准线的距离注意相互转化.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )
2.抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )A.4 B.6 C.8 D.12
解析 抛物线y2＝8x的准线是x＝－2，由条件知P到y轴距离为4，所以点P的横坐标xP＝4.根据焦半径公式可得|PF|＝4＋2＝6.
4.从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝4，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为( )
5.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )A.18 B.24 C.36 D.48
解析 不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0).如图所示，
6.抛物线y2＝8x的准线方程是________.
7.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2).若x1＋x2＝6，则|AB|＝________.
由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，∵|FM|∶|MN|＝1∶2，
9.如图所示，过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，求此抛物线的方程.
解 如图，过A，B分别作准线的垂线AA′，BD，垂足分别为A′，D，
则|BF|＝|BD|，又2|BF|＝|BC|，∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°.又|AF|＝3，∴|AA′|＝3，∴|AC|＝6，|FC|＝3.
∴抛物线的标准方程为y2＝3x.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝4x.∵双曲线左焦点在抛物线的准线x＝－1上，
11.(多选)设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离可以是( )A.2 B.3 C.4 D.5
12.点M(m，4)(m＞0)为抛物线x2＝2py(p＞0)上一点，F为其焦点，已知|FM|＝5，则m＝________，p＝________.
可得p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
化简，得y2－2pky－p2＝0.∴y1y2＝－p2，
(3)设AB中点为C(x0，y0)，过C作准线的垂线，垂足为C1.
∴以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.
通过实例体会抛物线的简单几何性质，利用抛物线的简单几何性质解决简单的抛物线的问题，培养学生的直观想象和数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1.思考 类比椭圆、双曲线几何性质的研究方法，你认为抛物线C：y2＝2px(p＞0)具有哪些几何性质？这些性质是怎样与抛物线C的方程特征相对应的？ 提示 范围：根据抛物线C的方程y2＝2px(p＞0)可得C上任意一点M的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|的值也增大，这说明抛物线C在y轴的右侧，经过原点，开口向右，向右上方和右下方无限延伸.抛物线是不封闭的曲线.对称性：将y换成－y，抛物线C的方程y2＝2px(p＞0)不变，所以抛物线C关于x轴对称；而将x换成－x，方程C发生变化，所以抛物线C不关于y轴对称，同样得到抛物线C不关于原点对称.顶点：抛物线与对称轴的交点，称为抛物线的顶点，顶点是原点.
2.填空 抛物线的简单几何性质
3.做一做 若抛物线y2＝2mx的焦点与圆x2＋y2－4x＝0的圆心重合，则m的值为________.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
题型一 抛物线的几何性质
例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程及准线方程.
∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0).∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
其准线方程分别为x＝－3和x＝3.
注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.
题型二 抛物线几何性质的应用
解析 由抛物线方程知F(1，0)，准线l的方程为x＝－1.如图，
设A(x0，y0)，过A作AH⊥x轴于H，在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1，
(2)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长.解 如图所示，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.因为x1＞0，x2＞0，2p＞0，所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称，由此得∠AOx＝30°，
利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点：解决焦点弦问题.
训练2 已知抛物线y2＝8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；
解 抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，x≥0.
(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长.
由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心，
题型三 抛物线的焦点弦问题
迁移 (变结论)求弦AB的中点M到y轴的距离.
过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可.
训练3 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.
＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，
1.抛物线标准方程的几何性质(1)讨论性质时，一定要化为标准方程；(2)由几何性质求方程时，一般用待定系数法.2.几何性质的应用注意问题(1)抛物线y2＝±2px(p>0)过焦点的弦长|AB|＝x1＋x2＋p，其中x1，x2分别是点A，B横坐标的绝对值.抛物线x2＝±2py(p>0)的过焦点的弦长|AB|＝y1＋y2＋p，其中y1，y2分别是点A，B纵坐标的绝对值，要注意结合标准方程求解.(2)抛物线上的点与焦点的距离和到准线的距离注意相互转化.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )
2.抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )A.4 B.6 C.8 D.12
解析 抛物线y2＝8x的准线是x＝－2，由条件知P到y轴距离为4，所以点P的横坐标xP＝4.根据焦半径公式可得|PF|＝4＋2＝6.
4.从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝4，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为( )
5.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )A.18 B.24 C.36 D.48
解析 不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0).如图所示，
6.抛物线y2＝8x的准线方程是________.
7.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2).若x1＋x2＝6，则|AB|＝________.
由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，∵|FM|∶|MN|＝1∶2，
9.如图所示，过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，求此抛物线的方程.
解 如图，过A，B分别作准线的垂线AA′，BD，垂足分别为A′，D，
则|BF|＝|BD|，又2|BF|＝|BC|，∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°.又|AF|＝3，∴|AA′|＝3，∴|AC|＝6，|FC|＝3.
∴抛物线的标准方程为y2＝3x.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝4x.∵双曲线左焦点在抛物线的准线x＝－1上，
11.(多选)设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离可以是( )A.2 B.3 C.4 D.5
12.点M(m，4)(m＞0)为抛物线x2＝2py(p＞0)上一点，F为其焦点，已知|FM|＝5，则m＝________，p＝________.
可得p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
化简，得y2－2pky－p2＝0.∴y1y2＝－p2，
(3)设AB中点为C(x0，y0)，过C作准线的垂线，垂足为C1.
∴以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
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