【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件培优课　圆锥曲线的综合问题

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培优课　圆锥曲线的综合问题解析几何将几何图形置于平面直角坐标系中，用坐标表示点，用方程表示曲线，用代数方法解决问题，有一些会有大量的运算，可以从以下几个方面探索减少运算量的方法和技巧，解决圆锥曲线的综合问题.类型一　借用平面几何性质解题例1 已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)A.   B.  C.   D.答案　A解析　设OE的中点为N，如图所示，因为MF∥OE，所以有＝，＝.又因为|OE|＝2|ON|，所以有＝·，解得e＝＝.类型二　最值、范围问题例2 如图，已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称.求实数m的取值范围.解　由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋>0，①设点M为AB的中点，则M，代入直线方程y＝mx＋，解得b＝－.②由①②得m<－或m>.类型三　定点、定值问题例3 已知椭圆＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N两点.(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由.解　(1)直线AM的斜率为1时，直线AM的方程为y＝x＋2，代入椭圆方程并化简得5x2＋16x＋12＝0.解得x1＝－2，x2＝－，所以M.(2)证明　设直线AM的斜率为k，直线AM的方程为y＝k(x＋2).联立方程化简得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.则xA＋xM＝，又xA＝－2，则xM＝－xA－＝2－＝.同理，可得xN＝.由(1)知若存在定点，则此点必为P.证明如下：因为kMP＝＝＝.同理，可计算得kPN＝.所以直线MN过x轴上的一定点P.类型四　探索存在性问题例4 已知椭圆T：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，A，B是椭圆T上两点，N(3，1)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆T相交于C，D两点.(1)求直线AB的方程；(2)是否存在这样的椭圆T，使得以CD为直径的圆经过坐标原点O？若存在，求出该椭圆方程；若不存在，请说明理由.解　(1)由离心率e＝，可得椭圆T：x2＋3y2＝a2(a>0).易得直线AB的斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝k(x－3)＋1，代入x2＋3y2＝a2，得(3k2＋1)x2－6k(3k－1)x＋3(3k－1)2－a2＝0.①Δ＝4[a2(3k2＋1)－3(3k－1)2]>0，②x1＋x2＝，由N(3，1)是线段AB的中点，得＝3，解得k＝－1，代入②得a2>12，故直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，即x＋y－4＝0.(2)因为CD垂直平分AB，所以直线CD的方程为y－1＝x－3，即x－y－2＝0，代入椭圆方程，整理得4x2－12x＋12－a2＝0.又设C(x3，y3)，D(x4，y4)，所以x3＋x4＝3，x3x4＝，y3y4＝(x3－2)(x4－2)＝，假设存在这样的椭圆，使得以CD为直径的圆经过坐标原点O，则⊥，即x3x4＋y3y4＝0，得a2＝8，又a2>12，故不存在这样的椭圆.