【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件章末复习提升

章末复习提升

要点一　直线的方程

(1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件是否具备时，要另行讨论条件不满足的情况.

(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单.

例1 过点P(－1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程.

解　(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；

(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k(k≠0)，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y＝kx＋2.

令y＝0，分别得x＝－1，x＝－.

由题意＝1，即k＝1.

则直线的方程分别为y＝x＋1，y＝x＋2，

即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.

综上可知，所求的直线方程分别为x＝－1，x＝0，或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.

训练1 将直线的方程x－2y＋6＝0：

(1)化成斜截式，并指出它的斜率与在y轴上的截距；

(2)化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距.

解　(1)将原方程移项得2y＝x＋6，两边同除以2，得斜截式y＝x＋3，因此它的斜率k＝，在y轴上的截距为3.

(2)将原方程移项得x－2y＝－6，两边同除以－6，得截距式＋＝1.由方程可知，直线在x轴、y轴上的截距分别为－6，3.

要点二　直线的位置关系

两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直.通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系.解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况.

例2 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值.

(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；

(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等.

解　(1)∵l1⊥l2，

∴a(a－1)＋(－b)·1＝0.

即a2－a－b＝0①

又点(－3，－1)在l1上，

∴－3a＋b＋4＝0.②

由①②解得a＝2，b＝2.

(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，

∴l1的斜率也存在，＝1－a，即b＝.

故l1和l2的方程可分别表示为

l1：(a－1)x＋y＋＝0，

l2：(a－1)x＋y＋＝0.

∵原点到l1与l2的距离相等，

∴4＝，解得a＝2或a＝.

因此或

训练2 a分别为何值时，直线(a－1)x－2y＋4＝0与x－ay－1＝0.

(1)平行；(2)垂直？

解　当a＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；

当a≠0且a≠1时，直线(a－1)x－2y＋4＝0的斜率为k1＝，b1＝2；

直线x－ay－1＝0的斜率为k2＝，

b2＝－.

(1)当两直线平行时，由k1＝k2，b1≠b2，

得＝，a≠－，

解得a＝－1或a＝2.

所以当a＝－1或2时，两直线平行.

(2)当两直线垂直时，由k1·k2＝－1，

即·＝－1，解得a＝.

所以当a＝时，两直线垂直.

要点三　直线与圆、圆与圆的位置关系

(1)直线与圆的位置关系是重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程.

(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题.

例3　如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.

(1)若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；

(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.

解　(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为2，所以d＝＝1.由点到直线的距离公式得d＝＝1，从而k(24k＋7)＝0，即k＝0或k＝－，所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0.

(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，则直线l2的方程为y－b＝－(x－a).因为圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即

＝，

整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，

从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，

即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5.

因为k的取值有无穷多个，

所以或

解得或

这样点P只可能是点P1或点P2.

经检验点P1和P2满足题目条件.

训练3 已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2，3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程.

解　(1)当直线l存在斜率时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，

即kx－y＋3－2k＝0.

由|AB|＝2，圆M的半径为2，得圆心M(1，1)到直线l的距离d＝＝1，

即＝1，解得k＝.

所以直线l的方程为3x－4y＋6＝0.

(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，把x＝2代入圆M的方程，得y＝1±，

故|AB|＝2，所以适合题意.

综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x－2＝0.

要点四　与圆有关的最值问题

在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围.

例4 已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点.

(1)求的最大值与最小值；

(2)求x－2y的最大值与最小值.

解　 (1)显然可以看作是点P(x，y)与点Q(1，2)连线的斜率.令＝k，如图所示，

则其最大值、最小值分别是过点Q(1，2)的圆C的两条切线的斜率.

对上式整理得kx－y－k＋2＝0，

∴＝1，∴k＝.

故的最大值是，最小值是.

(2)令u＝x－2y，则u可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得.依题意，得＝1，解得u＝－2±，

故x－2y的最大值是－2＋，最小值是－2－.

训练4 当曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异交点时，实数k的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　曲线y＝1＋是以(0，1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线y＝k(x－2)＋4是过定点(2，4)的直线.

设切线PC的斜率为k0，则切线PC的方程为y＝k0(x－2)＋4，圆心(0，1)到直线PC的距离等于半径2，即＝2，k0＝.

直线PA的斜率为k1＝.

所以，实数k的范围是.

要点五　圆锥曲线定义的应用

研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合几何图形利用几何意义去解决有关的最值问题.

例5 若点M(1，2)，点C是椭圆＋＝1的右焦点，点A是椭圆上的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是_________________________________.

答案　8－2

解析　设点B为椭圆的左焦点，则B(－3，0).连接MB，AB.点M(1，2)在椭圆内，

那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，

所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，

而a＝4，|BM|＝＝2，

所以(|AM|＋|AC|)min＝8－2.

训练5 抛物线y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若2|BF|＝|AF|＋|CF|，则(　　)

A.2x2＝x1＋x3   B.2y2＝y1＋y3

C.2x3＝x1＋x2   D.2y3＝y1＋y2

答案　A

解析　如图，过A，B，C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，由抛物线定义：

|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|.

∵2|BF|＝|AF|＋|CF|，∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|.

又∵|AA′|＝x1＋，|BB′|＝x2＋，

|CC′|＝x3＋，∴2＝x1＋＋x3＋，∴2x2＝x1＋x3.

要点六　有关圆锥曲线性质的应用

有关求圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握好基本公式和概念，充分理解题意，大都可以顺利求解.

例6 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为(　　)

A.   B.2 

C.   D.2

答案　D

解析　法一　由离心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2.

法二　离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距离公式得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2，故选D.

训练6 已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是(　　)

A.x＝±y   B.y＝±x

C.x＝±y   D.y＝±x

答案　D

解析　由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，∴3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2，

又∵双曲线渐近线为y＝±x，

∴由m2＝8n2，|m|＝2|n|，得y＝±x.

要点七　直线与圆锥曲线的综合问题

1.有关直线与圆锥曲线的综合可能会涉及弦长、焦点弦及弦中点、取值范围、最值等问题.

2.这类问题综合性强，分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法、对称的方法及根与系数的关系等.

例7 设椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，|AB|＝.

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线l：y＝kx(k<0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值.

解　(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有＝，

又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.

由|AB|＝＝，

从而a＝3，b＝2.

所以，椭圆的方程为＋＝1.

(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点M的坐标为(x2，y2)，

由题意，x2>x1>0，点Q的坐标为(－x1，－y1).

由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，

可得|PM|＝2|PQ|，

从而x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1.

易知直线AB的方程为2x＋3y＝6，

由方程组

消去y，可得x2＝.

由方程组消去y，

可得x1＝.

由x2＝5x1，可得＝5(3k＋2)，

两边平方，整理得18k2＋25k＋8＝0，

解得k＝－，或k＝－.

当k＝－时，x2＝－9<0，不合题意，舍去；

当k＝－时，x2＝12，x1＝，符合题意.

所以，k的值为－.

训练7 已知圆E：x2＋＝经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且＝λ(λ≠0).

(1)求椭圆C的方程；

(2)当△AMN的面积取到最大值时，求直线l的方程.

解　(1)如图，圆E经过椭圆C的左、右焦点F1，F2，

∵F1，E，A三点共线，

∴F1A为圆E的直径，∴|AF1|＝×2＝3，AF2⊥F1F2.

令y＝0，则x2＋＝，解得x＝±，∴c＝.

|AF2|2＝|AF1|2－|F1F2|2＝9－8＝1，

2a＝|AF1|＋|AF2|＝4，∴a＝2.

∵a2＝b2＋c2，∴b＝，

∴椭圆C的方程为＋＝1.

(2)由(1)得点A的坐标为(，1)，

∵＝λ(λ≠0)，∴直线l的斜率为，

故设直线l的方程为y＝x＋m，

联立方程组消去y得

x2＋mx＋m2－2＝0，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

∴x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－2，Δ＝2m2－4m2＋8>0，∴－2<m<2.

|MN|＝|x2－x1|＝＝.

点A到直线l的距离d＝.

S△AMN＝|MN|·d＝·|m|

＝≤×＝，

当且仅当4－m2＝m2，

即m＝±时，等号成立.

故所求直线l的方程为y＝x±.