【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件培优课　焦点三角形

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培优课　焦点三角形椭圆或双曲线上的点P(x0，y0)与左、右焦点构成的三角形称为焦点三角形，其中∠F1PF2为顶角θ，F1F2为底边.(1)在椭圆中，①焦点三角形的周长是定值，l＝2a＋2c.②△PF1F2中三边的关系，除定义|PF1|＋|PF2|＝2a外，还有余弦定理：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ.③|PF1|·|PF2|的最大值为a2(当且仅当x0＝0时取得)，最小值为b2(当且仅当x0＝±a时取得).④S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取得最大值，最大值为bc.(2)在双曲线中，双曲线上的一点(非实轴端点)与两个焦点构成的三角形为焦点△PF1F2，由余弦定理与定义可得S△PF1F2＝＝c·|y0|.类型一　椭圆中的焦点三角形与离心率例1 已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.证明　设|PF1|＝m，|PF2|＝n，知cos 60°＝＝－1，所以mn＝b2，所以S△F1PF2＝mnsin 60°＝b2，即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.类型二　焦点三角形的面积及综合应用例2 设P是椭圆＋＝1上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若∠F1PF2＝60°，(1)求△F1PF2的面积；(2)求点P的坐标；(3)求·的值.解　(1)由椭圆方程知，a2＝25，b2＝，所以c2＝，则c＝，2c＝5.在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，即25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①由椭圆的定义，知10＝|PF1|＋|PF2|，所以100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②②－①，得3|PF1|·|PF2|＝75，所以|PF1|·|PF2|＝25，所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝.(2)设P(x0，y0)，则S△F1PF2＝·|F1F2|·|y0|，由(1)可得＝×5·|y0|，于是|y0|＝，所以y0＝±，将代入椭圆方程，得＋＝1，解得x＝0，所以x0＝0，于是点P的坐标为或.(3)由(1)可得F1，F2，由(2)可知点P的坐标为或，所以＝，＝或＝，＝，故·＝－＋＝.类型三　双曲线中的焦点三角形例3 如图所示，已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M为双曲线上一点，并且∠F1MF2＝θ，求△MF1F2的面积. 解　在△MF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|·cos θ.①∵|F1F2|2＝4c2，|MF1|2＋|MF2|2＝(|MF1|－|MF2|)2＋2|MF1|·|MF2|＝4a2＋2|MF1|·|MF2|，∴①式化为4c2＝4a2＋2|MF1|·|MF2|(1－cos θ)，∴|MF1|·|MF2|＝，∴S△MF1F2＝|MF1|·|MF2|·sin θ＝＝＝.