【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件进阶训练4　(范围：2.3.1～2.3.4)

进阶训练4　(范围：2.3.1～2.3.4)

一、基础达标

1.直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　)

A.过圆心   B.相切

C.相离   D.相交但不过圆心

答案　D

解析　圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝＝<3.又圆心(1，－1)不在直线3x＋4y＋12＝0上，故选D.

2.过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　)

A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4

B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4

C.(x－1)2＋(y－1)2＝4

D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4

答案　C

解析　由圆心在直线x＋y－2＝0上，排除BD；又将B(－1，1)代入验证，排除A.

3.若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(　　)

A.－1   B.1 

C.3   D.－3

答案　B

解析　圆的圆心为(－1，2)代入直线3x＋y＋a＝0，

∴－3＋2＋a＝0，∴a＝1.

4.已知两点A(－1，0)，B(1，0)以及圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)，若圆C上存在点P，满足·＝0，则r的取值范围是(　　)

A.[3，6]   B.[3，5] 

C.[4，5]   D.[4，6]

答案　D

解析　∵·＝0，∴点P在以A(－1，0)，B(1，0)两点连线段为直径的圆上，该圆方程为x2＋y2＝1，又点P在圆C上，∴两圆有公共点.

两圆的圆心距d＝＝5，∴r－1≤5≤r＋1，解得4≤r≤6.

5.已知两点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积最小值是(　　)

A.3－   B.3＋

C.3－   D.

答案　A

解析　圆x2＋y2－2x＝0可化为(x－1)2＋y2＝1，所以圆心为(1，0)，r＝1.直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心(1，0)到直线AB的距离为d＝＝，

所以圆上的点C到直线AB的最小距离为－1，又|AB|＝2，

所以(S△ABC)min＝·|AB|·

＝×2×＝3－.

6.已知圆C与直线x＋y＋3＝0相切，直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则圆C的方程为(　　)

A.x2＋y2－2y＝2

B.x2＋y2＋2y＝2

C.x2＋y2－2y＝1

D.x2＋y2＋2y＝1

答案　D

解析　在直线mx＋y＋1＝0的方程中，令x＝0，得y＝－1，

则直线mx＋y＋1＝0过定点(0，－1).

由于直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，

则点(0，－1)是圆C的圆心，

又圆C与直线x＋y＋3＝0相切，

则圆C的半径r＝＝.

因此，圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝2，

即x2＋y2＋2y＝1.

7.过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为________.

答案　2x－y＝0

解析　圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1，则R＝1，∵弦长为2，∴直线过圆心(1，2)，

又过原点.∴所求直线方程为y＝2x.

8.已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________.

答案　(x－2)2＋y2＝10

解析　设圆心坐标为(a，0)，则有(a－5)2＋12＝(a－1)2＋32，

解得a＝2，半径r＝＝，

故圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.

9.已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.

解　设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标是方程组

的解，

①－②化简得3x－4y＋6＝0.

∵A，B两点坐标都满足此方程，

∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程.

易知圆C1的圆心(－1，3)，半径r1＝3.

又C1到直线AB的距离为d＝＝，

∴|AB|＝2＝2＝，

即两圆的公共弦长为.

10.已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.

(1)当a为何值时，直线l与圆C相切？

(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程.

解　圆C方程可化为x2＋(y－4)2＝4，此圆的圆心为(0，4)，半径为2.

(1)若直线l与圆C相切，则有＝2，

解得a＝－，即当a＝－时，直线l与圆C相切.

(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得|CD|＝＝＝，

解得a＝－7或a＝－1，

故所求方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.

二、能力提升

11.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|＝(　　)

A.4   B.4 

C.8   D.8

答案　C

解析　∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)，

∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等.

设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，

则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，

(4－b)2＋(1－b)2＝b2，

即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，

整理得x2－10x＋17＝0，

∴a＋b＝10，ab＝17.

∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，

∴|C1C2|＝＝＝8.

12.(多选)设有一组圆Ck：(x－1)2＋(y－k)2＝k4(k∈N*).下列四个命题正确的是(　　)

A.存在k，使圆与x轴相切

B.存在一条直线与所有的圆均相交

C.存在一条直线与所有的圆均不相交

D.所有的圆均不经过原点

答案　ABD

解析　根据题意得圆的圆心坐标为(1，k)，半径为k2.选项A，当k＝k2，即k＝1(k＝0舍去)时，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆与x轴相切，故正确；选项B，直线x＝1过圆的圆心(1，k)，所以直线x＝1与所有圆都相交，故正确；选项C，圆Ck：圆心(1，k)，半径为k2，圆Ck＋1：圆心(1，k＋1)，半径为(k＋1)2，两圆的圆心距d＝1，两圆的半径之差R－r＝2k＋1，R－r>d，Ck含于Ck＋1之中，若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，故错误；选项D，将(0，0)代入圆的方程，则有1＋k2＝k4，不存在k∈N*使上式成立，即所有的圆不过原点，正确.

13.已知点P(＋1，2－)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.

(1)求过点P的圆C的切线方程；

(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长.

解　(1)由题意得圆心C(1，2)，半径r＝2.

∵|PC|2＝(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，

∴点P在圆C上.

又kPC＝＝－1，

∴切线的斜率k＝－＝1.

∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝x－(＋1)，

即x－y＋1－2＝0.

(2)∵|MC|2＝(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，

∴点M在圆C外.

当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.

又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2，

所以直线x＝3是圆C的切线.

当切线的斜率存在时，设切线方程为

y－1＝k(x－3)，

即kx－y＋1－3k＝0，

则圆心C到切线的距离

d＝＝2，

解得k＝，

∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.

综上，可得过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0，切线长为＝＝1.

三、创新拓展

14.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4.

(1)若直线l1过定点A(1，0)，且与圆C相切，求l1的方程；

(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x＋y－2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程.

解　(1)圆C的圆心为C(3，4)，半径为r1＝2.

当直线l1斜率不存在时，即直线x＝1，

此时直线与圆相切.

当直线l1斜率存在时，设直线l1的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，

由于l1与圆C相切，故圆心到直线的距离等于半径，即＝2，

即|k－2|＝，解得k＝，

所以直线l1的方程为3x－4y－3＝0.

综上所述，直线l1的方程为x＝1或3x－4y－3＝0.

(2)由于圆D的圆心在直线l2上，设圆心D(a，－a＋2)，圆D的半径r2＝3，由于圆D与圆C外切，所以|CD|＝r1＋r2，

即＝2＋3＝5，

即(a－3)2＋(a＋2)2＝25，解得a＝3或a＝－2.

所以圆心D(3，－1)或D(－2，4).

所以圆D的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9或(x＋2)2＋(y－4)2＝9.