【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件限时小练8　线面角

限时小练8　线面角

1.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值是(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　A

解析　以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

设AA1＝2AB＝2，

则B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，C1(0，1，2).

故＝(1，1，0)，＝(0，1，2)，

＝(0，1，0)，

设平面BDC1的一个法向量为

n＝(x，y，z)，

则即

令z＝1，

则y＝－2，x＝2，

所以n＝(2，－2，1).

设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，

则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.故选A.

2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B和平面A1B1CD所成的角的大小为________.

答案　30°

解析　如图所示，连接BC1交B1C于O点，连接A1O.

设正方体棱长为a.

易证BC1⊥平面A1B1CD，

∴A1O为A1B在面A1B1CD上的射影.

∴∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角.

在Rt△A1BO中，A1B＝a，OB＝a，

∴sin∠BA1O＝＝，

∴∠BA1O＝30°，

即A1B与平面A1B1CD所成角为30°.

3.如图，已知多面体ABCA1B1C1中，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.

(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；

(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.

(1)证明　如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.

由题意知各点坐标如下：

A(0，－，0)，B(1，0，0)，A1(0，－，4)，B1(1，0，2)，C1(0，，1).

因此＝(1，，2)，＝(1，，－2)，＝(0，2，－3).

由·＝1＋3－4＝0得AB1⊥A1B1.

由·＝0＋×2－6＝0得AB1⊥A1C1.

又A1B1∩A1C1＝A1，A1B1，A1C1⊂平面A1B1C1，

所以AB1⊥平面A1B1C1.

(2)解　设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ.

由(1)可知＝(0，2，1)，

＝(1，，0)，＝(0，0，2).

设平面ABB1的一个法向量为n＝(x，y，z).

由即

可取n＝(－，1，0).

所以sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.

因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.