【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件限时小练6　异面直线所成的角

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限时小练6　异面直线所成的角1.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为(　　)A.60°   B.75°  C.105°   D.90°答案　D解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1， 则A(0，0，1)，B1，C1(0，，0)，B.∴＝，＝，∴·＝－－1＝0，即AB1与C1B所成角的大小为90°.2.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为(　　) A.   B.－C.－   D.答案　A解析　不妨设SA＝SB＝SC＝1，以S为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Sxyz， 则相关各点坐标为A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，S(0，0，0)，M，N.因为＝，＝，所以||＝，||＝，·＝－，cos〈，〉＝＝－，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为.3.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°？解　以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知A(0，0，0)，C(0，2，0)，B(，1，0)，B1(，1，2)，M.又点N在CC1上，可设N(0，2，m)(0≤m≤2)，则＝(，1，2)，＝，所以||＝2，||＝，·＝2m－1.如果异面直线AB1和MN所夹的角为45°，那么向量和的夹角为45°或135°.又cos〈，〉＝＝.所以＝±，解得m＝－，与0≤m≤2矛盾.所以在CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°.