限时小练25　椭圆的几何性质

1.把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P7，F是左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|等于(　　)

A.21   B.28 

C.35   D.42

答案　C

解析　设椭圆的右焦点为F′，则由椭圆的定义得|P1F|＋|P1F′|＝10，由椭圆的对称性，知|P1F′|＝|P7F|，∴|P1F|＋|P7F|＝10.同理，可知|P2F|＋|P6F|＝10，

|P3F|＋|P5F|＝10.又|P4F|＝5，

∴|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝35.

2.椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计)，在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围 是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　当玻璃杯倾斜于杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，此时椭圆长轴长为＝6(厘米)，短轴长与杯底直径相等，即为6厘米，∴椭圆离心率e＝＝，∴e∈.

3.椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，F1(－c，0)为焦点，离心率为e.

求证：椭圆上任一点P到F1的距离与到直线x＝－的距离之比为离心率e.

证明　设P(x0，y0)为椭圆上任一点，则＋＝1，

F1(－c，0)，直线x＝－，

所以点P到直线x＝－的距离d＝，

故＝＝

＝＝

＝＝＝＝e，

即证原命题成立.