【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件限时小练26　椭圆的标准方程及几何性质的应用

限时小练26　椭圆的标准方程及几何性质的应用

1.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)

A.2   B.3 

C.6   D.8

答案　C

解析　由题意，F(－1，0)，设点P(x0，y0)，则有＋＝1，

解得y＝3，

∵＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，

∴·＝x0(x0＋1)＋y＝x0(x0＋1)＋3＝＋x0＋3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0＝－2，

∵－2≤x0≤2，

∴当x0＝2时，·取得最大值＋2＋3＝6，故选C.

2.已知椭圆＋＝1(a>b>0)，焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0).若过F1的直线和圆＋y2＝c2相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是________；椭圆的离心率是________.

答案　　

解析　设过F1的直线与圆的切点为M，圆心A，则|AM|＝c，|AF1|＝c，

所以|MF1|＝c，

所以该直线的斜率k＝＝＝.因为PF2⊥x轴，

所以|PF2|＝，

又|F1F2|＝2c，

所以k＝＝＝＝，

解得e＝(e＝－舍去).

3.已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，求四边形PF1QF2的面积.

解　由椭圆C：＋＝1可知|F1F2|＝4.由P，Q为C上关于坐标原点对称的两个点，且|PQ|＝|F1F2|，

得|PO|＝|QO|＝2(O为坐标原点)，

所以P，Q既在椭圆＋＝1上，

又在圆x2＋y2＝12上.不妨设点P在第一象限，

则由，可得P，所以由对称性，可得四边形PF1QF2的面积S四边形PF1QF2＝2S△PF1F2＝2××|F1F2|×yP＝2××4×＝8.