【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件限时小练33　抛物线的方程及几何性质

限时小练33　抛物线的方程及几何性质

1.(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(m，4)在抛物线C上，且|MF|＝5，则p的值可以为(　　)

A.2   B.4 

C.6   D.8

答案　AD

解析　抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线方程为x＝－.由点M(m，4)在抛物线C上，且|MF|＝5，可得m＋＝5，2pm＝16，解得p＝2或8.

2.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为，△AOB的面积为2，则p＝(　　)

A.2   B.1 

C.2   D.3

答案　A

解析　不妨设A点在B点上方，由双曲线的离心率为，得1＋＝e2＝5，解得＝2，所以双曲线的两条渐近线方程为y＝±x＝±2x.又抛物线的准线方程为x＝－，则交点的坐标为A，B，所以|AB|＝2p.由△AOB的面积为2，得|AB|·＝2，即×2p·＝2，解得p＝2.故选A.

3.已知三角形AOB为直角三角形，且∠AOB＝90°，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，判断直线AB是否恒过定点？并说明你的理由.

解　直线AB恒过定点(2p，0)，理由如下：

设A，B，

由OA⊥OB，故kOA·kOB＝－1，得

·＝－1，即y1·y2＝－4p2.

kAB＝＝.

所以直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，

即y＝x－·＋y1

＝x＋＝，

将y1·y2＝－4p2代入上式得y＝(x－2p)，

故直线AB恒过定点(2p，0).