高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册1.3 两条直线的平行与垂直教案配套课件ppt

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1.2.3　直线的一般式方程课标要求　1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式.2.会进行直线方程的五种形式间的转化.素养要求　通过学习直线的一般式方程，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.1.思考　直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？提示　y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，是二元一次方程，2x－y＋3＝0可以化为y＝2x＋3，可以表示直线.2.填空　(1)直线与二元一次方程的关系①在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)来表示.②在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示一条直线.(2)直线的一般式方程方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程.温馨提醒　直线的一般式方程的结构特征(1)方程是关于x，y的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.(3)x的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.3.做一做　与x轴平行且过点(0，6)的直线的一般式方程为(　　)A.x－6＝0  B.y－6＝0C.x＋y＝6  D.x－y＝6答案　B解析　直线与x轴平行，则斜率k＝0，又直线过点(0，6)，则直线方程为y－6＝0.题型一　直线的一般式方程例1 根据下列条件求直线的一般式方程.(1)直线的斜率为2，且经过点A(1，3)；(2)斜率为，且在y轴上的截距为4；(3)经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)；(4)在x，y轴上的截距分别为2，－4.解　(1)因为k＝2，且经过点A(1，3)，由直线的点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，整理可得2x－y＋1＝0，所以直线的一般式方程为2x－y＋1＝0.(2)由直线的斜率k＝，且在y轴上的截距为4，得直线的斜截式方程为y＝x＋4.整理可得直线的一般式方程为x－y＋4＝0.(3)由直线的两点式方程可得＝，整理得直线的一般式方程为2x－3y－13＝0.(4)由直线的截距式方程可得＋＝1，整理得直线的一般式方程为2x－y－4＝0.思维升华　求直线的一般式方程的策略(1)当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；当B≠0时，方程化可为x＋y＋＝0，只需确定，的值.因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程.(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式.训练1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是，且经过点A(5，3)；(2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；(3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1；(4)经过点B(4，2)，且平行于x轴.解　(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)，化为一般式方程为x－y－5＋3＝0.(2)由两点式，得直线方程为＝，化为一般式方程为2x＋y－3＝0.(3)由截距式，得直线方程为＋＝1，化为一般式方程为x＋3y＋3＝0.(4)由题意，得直线方程为y＝2，化为一般式方程为y－2＝0.题型二　直线一般式方程的应用例2 设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值：(1)l在x轴上的截距是－3；(2)l的斜率是－1.解　(1)当直线在x轴上的截距为－3时，有＝－3，且m2－2m－3≠0，解得m＝－.(2)当斜率为－1时，有－＝－1，且2m2＋m－1≠0，解得m＝－2.思维升华　已知含参数的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤训练2 直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.解　(1)①当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意；②当a≠－1时，令x＝0，则y＝a－2，令y＝0，则x＝.∵l在两坐标轴上的截距相等，∴a－2＝，解得a＝2或a＝0.综上，a的值为2或0.(2)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2，故要使l不经过第二象限，只需解得a≤－1.∴a的取值范围为(－∞，－1].题型三　直线方程的实际应用例3 一根铁棒在20 ℃时，长10.402 5米，在40 ℃时，长10.405 0米，已知长度l和温度t的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并且根据这个方程求这根铁棒在25 ℃时的长度.解　由题意这条直线经过两点(20，10.402 5)和(40，10.405 0)，根据直线的两点式方程，得＝，即l＝0.002 5·＋10.400 0，当t＝25 ℃时，l＝0.002 5×＋10.400 0＝0.003 125＋10.400 0＝10.403 125，即当t＝25 ℃时，铁棒长为10.403 125米.思维升华　在解决实际问题时，选择直线方程的形式不同，导致运算的繁简程度也不一样，故应因题而异，寻找解题的最佳方法.训练3 某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与应付电话费s(元)的函数关系如图所示，则当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元. 答案　10解析　设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为s＝k2t，由图知当t＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝，故当t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10，即打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差10元.[课堂小结]1.重点掌握2种方法(1)求直线一般式方程的策略.(2)一般式方程和其他几种形式方程之间的转化及应用.2.注意1个易错点方程Ax＋By＋C＝0表示一条直线时，A，B必不能同时为0.一、基础达标1.过点(－3，0)和(0，4)的直线的一般式方程为(　　)A.4x＋3y＋12＝0  B.4x＋3y－12＝0C.4x－3y＋12＝0  D.4x－3y－12＝0答案　C解析　由截距式得直线方程为＋＝1，整理得4x－3y＋12＝0.2.斜率为－3，且在x轴上的截距为2的直线的一般式方程是(　　)A.3x＋y－6＝0  B.3x－y－6＝0C.3x＋y＋6＝0  D.x＋3y－6＝0答案　A解析　由点斜式得直线方程为y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.3.(多选)若A·C<0，B·C<0，则直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)经过(　　)A.第一象限  B.第二象限C.第三象限  D.第四象限答案　ABD解析　由题意知B≠0，所以Ax＋By＋C＝0可化为y＝－x－.因为A·C<0，B·C<0，所以－<0，－>0，所以该直线经过第一、二、四象限.故选ABD.4.已知直线3x－3y＋10＝0，则此直线与两坐标轴围成的三角形的周长为(　　)A.  B.C.  D.10答案　C解析　此直线在x轴、y轴上的截距分别为－，，则三角形的周长为＋＋×＝.5.若直线(2a2－7a＋3)x＋(a2－9)y＋3a2＝0的倾斜角为45°，则实数a＝(　　)A.－  B.3 C.－3  D.答案　A解析　由题意知，直线的斜率k＝1，∴解得a＝－.6.斜率为3，且经过点A(1，－3)的直线的一般式方程为________.答案　3x－y－6＝0解析　直线的点斜式方程为y－(－3)＝3(x－1)，整理可得直线的一般式方程为3x－y－6＝0.7.直线l的方程为Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，若l经过原点和第二、四象限，则A，B，C应满足________.答案　AB>0且C＝0解析　l过原点，则C＝0，又l过第二、四象限，则－<0，即>0，即AB>0.8.设a＋b＝k(k≠0，k为常数)，则直线ax＋by＝1恒过定点________.答案　解析　ax＋by＝1可变形为ax＋(k－a)y＝1，a(x－y)＋ky－1＝0，上式对于任何a∈R都成立，则解得故直线ax＋by＝1恒过定点.9.若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线.(1)求实数m需满足的条件；(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值.解　(1)由解得m＝2.又方程表示直线时，m2－3m＋2与m－2不同时为0，故m≠2.(2)由题意知，m≠2，且－＝1，解得m＝0.10.已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程.解　设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，∵点B在中线BE：y－1＝0上，∴设B点坐标为(x，1).又∵A点坐标为(1，3)，D为AB的中点，∴由中点坐标公式得D点坐标为.又∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，∴－2×2＋1＝0，解得x＝5，∴B点坐标为(5，1).同理可求出C的坐标是(－3，－1).故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0.二、能力提升11.(多选)下列说法中正确的是(　　)A.平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)表示B.当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)表示的直线过原点C.当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与x轴平行D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化答案　ABC解析　A说法正确，因为在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α，当α≠90°时，直线的斜率k存在，其方程可写成y＝kx＋b，它可变形为kx－y＋b＝0，与Ax＋By＋C＝0比较，A＝k，B＝－1，C＝b；当α＝90°时，直线的斜率不存在，其方程可写成x＝x1，它可变形为x－x1＝0，与Ax＋By＋C＝0比较，A＝1，B＝0，C＝－x1，显然A，B不全为0，所以此说法是正确的；B说法正确，因为当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)即Ax＋By＝0，显然有A·0＋B·0＝0，即直线过原点O(0，0)；C说法正确，因为当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可化为y＝－，它表示的直线与x轴平行；D说法显然错误.12.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2，3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________.答案　2x＋3y＋4＝0解析　由条件知易知两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都在直线2x＋3y＋4＝0上，即2x＋3y＋4＝0为所求.13.已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围.(1)证明　将直线l的方程整理为y－＝a，∴l的斜率为a，且过定点A，而点A在第一象限，故不论a为何值，l恒过第一象限.(2)解　要使l不经过第二象限，需a≥0且l在y轴上的截距不大于零，即∴a≥3.综上，a的取值范围为[3，＋∞).三、创新拓展14.一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处，送电到两村的电线用料最省？解　如图，以河流所在直线为x轴，y轴通过点A，建立直角坐标系，则点A(0，300)，B(x，700).设B点在y轴上的射影为H，连接BH，则x＝BH＝＝300，故点B(300，700).设点A关于x轴的对称点为A′(0，－300)，连接A′B，与x轴交于点P，则直线A′B的斜率k＝，直线A′B的方程为y＝x－300.令y＝0得x＝90，得点P(90，0)，故水电站建在河边P(90，0)处电线用料最省.