苏教版 (2019)选择性必修第一册3.3 抛物线集体备课ppt课件

5.1.2　瞬时变化率——导数

第一课时　曲线上一点处的切线、瞬时速度与瞬时加速度

课标要求　1.理解瞬时变化率的含义.2.理解切线与割线的关系.3.会求曲线上某点处的切线斜率、瞬时速度、瞬时加速度.

素养要求　根据对瞬时变化率的理解及求某点处切线的斜率、瞬时(加)速度，培养学生的数学抽象与数学运算素养.

一、曲线的割线和切线

1.思考　如图，过P作曲线C的割线PQ，当点Q沿曲线C逐渐向P靠近时，有何现象出现？

提示　割线PQ在点P附近越来越逼近该曲线，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，此时称这条直线l为曲线在点P处的切线.

2.填空　

温馨提醒　一条直线与一条曲线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线，当这两个点不断靠近，并重合为一个点时，这条直线就变成了这条曲线的切线.

3.做一做　已知曲线y＝x2－1上两点A(2，3)，B(2＋Δx，3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________.

答案　5　4.1

解析　当Δx＝1时，割线AB的斜率k1＝＝＝5；

当Δx＝0.1时，割线AB的斜率k2＝＝＝4.1.

二、瞬时变化率与瞬时速度、瞬时加速度

1.思考　(1)平均速率是平均速度吗？

提示　平均速率不是平均速度.平均速率是物体通过路程与它通过这段路程所用的时间的比值，它是数量.例如一个物体围绕一个圆周(半径为r)运动一周，花的时间是t，平均速率是2πr/t，而平均速度为0.

(2)瞬时速率与瞬时速度一样吗？

提示　瞬时速率，只有大小，没有方向，而瞬时速度是位移对时间的瞬时变化率，既有大小，又有方向，其大小是瞬时速率，方向是该点在轨迹上运动的切线的方向.

2.填空　(1)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率.

(2)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率.

温馨提醒　瞬时速度与平均速度的区别和联系

区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关.

联系：瞬时速度是平均速度的极限值.

3.做一做　一个物体的运动方程为S＝1－t＋t2，其中S的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3 s末的瞬时速度是(　　)

A.7 m/s  B.6 m/s

C.5 m/s  D.8 m/s

答案　C

解析　 ∵

＝＝5＋Δt，

当Δt→0时，5＋Δt→5，

∴物体在3 s末的瞬时速度为5 m/s.

题型一　求曲线上某一点处的切线

例1 已知曲线y＝x3上一点P，求：

(1)点P处的切线斜率；

(2)点P处的切线方程.

解　(1)由y＝x3，得＝

＝×＝[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]，

当Δx无限趋近于0时，无限趋近于x2，所以点P处的切线的斜率等于4.

(2)在点P处的切线方程是y－＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.

思维升华　(1)解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想，即求曲线上一点处切线的斜率时，先表示出曲线在该点处的割线的斜率，则当Δx无限趋近于0时，可得到割线逼近的切线的斜率.然后利用直线方程的点斜式可求出相应的切线方程.

(2)注意函数y＝f(x)在x＝x0处的切线，就是函数图象(曲线)上以点(x0，f(x0))为切点的曲线的切线，过点(x0，y0)也能作曲线y＝f(x)的切线，但点(x0，y0)不一定是切点.

训练1 利用割线逼近切线的方法分别求曲线y＝2x2在x＝0，x＝－1，x＝2处的切线斜率.

解　设P(x0，f(x0))，Q(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，则割线PQ的斜率kPQ＝＝＝4x0＋2Δx.

当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于4x0，从而曲线y＝f(x)在x＝0，x＝－1，x＝2处的切线斜率分别为0，－4，8.

题型二　求瞬时速度

例2 一质点按S＝2t2＋2t(位移单位：m，时间单位：s)做直线运动.求：

(1)该质点在前3 s内的平均速度；

(2)质点在2 s到3 s内的平均速度；

(3)质点在3 s时的瞬时速度.

解　(1)1＝＝＝8(m/s)，

所以该质点在前3 s内的平均速度为8 m/s.

(2)2＝＝2×32＋2×3－2×22－2×2＝12(m/s).

所以质点在2 s到3 s内的平均速度为12 m/s.

(3)因为

＝＝2Δt＋14，

当Δt趋于0时，2Δt＋14无限趋近于14，所以质点在3 s时的瞬时速度为14 m/s.

思维升华　求运动物体瞬时速度的三个步骤

(1)求时间改变量Δt和位移改变量ΔS＝S(t0＋Δt)－S(t0).

(2)求平均速度＝.

(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v即为瞬时速度.

训练2 高台跳水运动员在t秒时距水面高度h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10(单位：米)，则该运动员的初速度为________米/秒.

答案　6.5

解析　＝＝6.5－4.9Δt.

∵当Δt无限趋近于0时，－4.9Δt＋6.5无限趋近于6.5，

∴该运动员的初速度为6.5米/秒.

题型三　求瞬时加速度

例3 质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则当Δt无限趋近于0时，表示(　　)

A.t＝1 s时的速度 B.t＝1 s时的加速度

C.t＝1 s时的位移 D.t＝1 s的平均速度

答案　B

解析　当Δt无限趋近于0时，表示t＝1 s时的加速度.

思维升华　瞬时加速度为状态量，反映某一时刻物体运动规律，是表征速度变化快慢的物理量.

训练3 有一做直线运动的物体，其速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的关系是v＝3t－t2，求此物体在t＝2 s时的瞬时加速度.

解　因为v(2＋Δt)－v(2)＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)＝3Δt－4Δt－(Δt)2＝－Δt－(Δt)2，所以＝－1－Δt，

所以当Δt无限趋近于0时，－1－Δt无限趋近于－1.

所以该物体在t＝2 s时的瞬时加速度为－1 m/s2.

[课堂小结]

1.牢记2个知识点

(1)切线与割线的概念.

(2)瞬时速度、瞬时加速度.

2.理解1个思想

理解割线逼近切线的思想.

一、基础达标

1.做直线运动的物体，其位移S与时间t的关系是S＝3t－t2，则物体的初速度是(　　)

A.1  B.2 

C.3  D.4

答案　C

解析　因为ΔS＝S(0＋Δt)－S(0)＝3Δt－(Δt)2－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，

所以＝3－Δt，当Δt→0时，→3－0＝3，即v＝3.

2.一物体的运动方程为S＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝(　　)

A.1  B.2 

C.3  D.4

答案　A

解析　因为ΔS＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7t＋13t0－8＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2，所以＝14t0－13＋7Δt，当Δt趋近于0时，→14t0－13，所以14t0－13＝1，所以t0＝1.

3.一木块沿一斜面下滑，下滑的水平距离S与时间t之间的函数关系式为S＝t2，当t＝3时，此木块在水平方向上的瞬时速度为(　　)

A.1  B.1.5 

C.2  D.3

答案　B

解析　v＝＝Δt＋，

当Δt→0时，v→1.5，

所以所求瞬时速度为1.5.

4.一物体做加速直线运动，假设t s时的速度为v(t)＝t2＋3，则t＝2时物体的加速度为(　　)

A.4  B.3 

C.2  D.1

答案　A

解析　因为＝＝2t＋Δt，

所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于2t.

所以t＝2时物体的加速度为4.

5.(多选)甲、乙速度v与时间t的关系如图，a(b)是t＝b时的加速度，S(b)是从t＝0到t＝b的路程，则下列说法正确的是(　　)

A.a甲(b)>a乙(b)  B.a甲(b)<a乙(b)

C.S甲(b)>S乙(b)  D.S甲(b)<S乙(b)

答案　BC

解析　加速度是速度v对t的函数图象的切线斜率，由图可得在b处，甲的切线斜率小于乙的切线斜率，即甲在b处的加速度小于乙在b处的加速度；由图知t＝0到t＝b甲的速度总大于等于乙的速度，所以甲从t＝0到t＝b的路程大于乙从t＝0到t＝b的路程.故B，C正确.

6.若一质点的运动方程为S＝t2＋1，则该质点在t＝1时的瞬时速度是________.

答案　2

解析　＝＝2＋Δt，

当Δt→0时，→2，即为所求瞬时速度.

7.自由落体运动的物体下降距离h和时间t的关系式为h＝gt2，若t＝2时的瞬时速度为19.6，则g＝________.

答案　9.8

解析　＝＝2g＋gΔt.

当Δt→0时，2g＋gΔt→2g.

∴2g＝19.6，g＝9.8.

8.已知曲线y＝x2－2上一点P，则曲线在点P处的切线的倾斜角为________.

答案　45°

解析　＝＝x＋Δx，

当Δx无限趋近于0时，无限趋近于x，

所以曲线在点P处的切线的斜率为1，倾斜角为45°.

9.求曲线f(x)＝3x2－2x在点(1，1)处的切线的方程.

解　因为＝

＝＝＝3Δx＋4，

所以当Δx无限趋近于0时，3Δx＋4无限趋近于4，

所以曲线f(x)＝3x2－2x在点(1，1)处的切线的斜率为4.

所以切线方程为y－1＝4(x－1)，

即4x－y－3＝0.

10.如果一个质点从固定点A开始运动，时间t(单位：s)的位移(单位：m)函数为y＝t3＋3，求当t＝4 s时的瞬时速度.

解　因为质点在t＝4 s到(4＋Δt)s的位移改变量Δy＝(Δt＋4)3＋3－(43＋3)

＝(Δt)3＋12(Δt)2＋48Δt，所以该时间段内的平均速度＝

＝＝(Δt)2＋12Δt＋48.

所以当Δt→0时，→48，所以质点在t＝4 s时的瞬时速度为48 m/s.

二、能力提升

11.(多选)已知某物体的运动方程为S(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则(　　)

A.该物体在1≤t≤3时的平均速度是28

B.该物体在t＝4时的瞬时速度是56

C.该物体位移的最大值为43

D.该物体在t＝5时的瞬时速度是70

答案　ABD

解析　该物体在1≤t≤3时的平均速度是

＝＝28，A正确；

＝＝56＋7Δt，当Δt→0时，→56，故B正确；

物体的最大位移是7×52＋8＝183，C错误；

＝＝70＋7Δt，当Δt→0时，→70，故D正确.

12.若小球自由落体的运动方程为S(t)＝gt2(g为重力加速度)，该小球在t＝1到t＝3时的平均速度为，在t＝2时的瞬时速度为v2，则和v2的大小关系为(　　)

A.>v2  B.<v2

C.＝v2  D.不能确定

答案　C

解析　平均速度为＝＝＝2g.

＝＝＝gΔt＋2g，

∵当Δt无限趋近于0时，无限趋近于2g，∴v2＝2g，∴＝v2.

13.以初速度v0(v0＞0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为S(t)＝v0t－gt2，求物体在时刻t0时的瞬时速度.

解　因为ΔS＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－

＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，所以＝v0－gt0－gΔt，

当Δt无限趋近于0时，无限趋近于v0－gt0.

故物体在时刻t0时的瞬时速度为v0－gt0.

三、创新拓展

14.某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数W＝W(t)，则当Δt无限趋近于0时，表示(　　)

A.t＝t0时做的功  B.t＝t0时的速度

C.t＝t0时的位移  D.t＝t0时的功率

答案　D

解析　由题意知当Δt无限趋近于0时，表示t＝t0时的功率.