数学选择性必修第一册5.1 导数的概念教课课件ppt

5.1　导数的概念

5.1.1　平均变化率

课标要求　1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率.2.了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的情境中，说明平均变化率的实际意义.

素养要求　1.通过具体的平均变化率问题，培养学生的数学建模素养.2.借助平均变化率的求解，提升学生的数学运算素养.

1.思考　如图，从数学的角度刻画气温“陡升”，用怎样的数学模型刻画变量变化的快慢程度？

提示　陡峭程度反应了气温变化的快与慢；A，B两点相差31天，气温增加了15.1 ℃，则有≈0.5；而B，C两点相差2天，气温增加了14.8 ℃，则有＝7.4.我们用比值刻画了变量变化的快慢程度，比值称为函数在某一区间上的平均变化率.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.

2.填空　(1)函数的平均变化率

一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为. 

(2)平均变化率的意义

平均变化率的几何意义是经过曲线y＝f(x)上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线PQ的斜率.因此平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.

温馨提醒　x2－x1，f(x2)－f(x1)可正可负，f(x2)－f(x1)也可以为零，但x2－x1不能为零.平均变化率可正、可负、可为零.

3.做一做　已知函数f(x)＝x2＋1，则当x由2变到2.1时，函数值的改变量为(　　)

A.0.40  B.0.41

C.0.43  D.0.44

答案　B

解析　f(2.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.故选B.

题型一　求函数的平均变化率

例1 (1)函数f(x)＝在[2，6]上的平均变化率为________.

答案　－

解析　＝＝－.

(2)已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快.

解　自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为＝＝；

自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为＝

＝.

因为<，所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快.

思维升华　求函数平均变化率的三个步骤

第一步，求自变量的增量x2－x1；

第二步，求函数值的增量f(x2)－f(x1)；

第三步，求平均变化率.

训练1 某森林公园在过去的10年里，森林占地面积变化如图所示，试分别计算前5年与后5年森林面积的平均变化率.

解　前5年森林面积的平均变化率为＝0.8(公顷/年).

后5年森林面积的平均变化率为＝1.6(公顷/年).

题型二　实际问题中的平均变化率

例2 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.

(1)求运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率；

(2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率.

解　(1)运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率为＝4.05(m/s).

(2)在1≤t≤2这段时间内，高度h的平均变化率为＝－8.2 (m/s).

思维升华　实际问题中的平均变化率与函数在某一区间上的平均变化率类似，首先求f(x2)－f(x1)，再求比值.当函数解析式没有给定时，先根据实际问题求出函数解析式，再重复上述步骤即可.

训练2 一质点作直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，该质点在2到2＋Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5，则Δt的取值范围是________.

答案　(0，1]

解析　质点在2到2＋Δt之间的平均速度为v＝＝＝4＋Δt，又v≤5，则4＋Δt≤5，所以Δt≤1，又Δt>0，所以Δt的取值范围是(0，1].

题型三　平均变化率的应用

例3 为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m/s到0 m/s花了5 s，乙车从18 m/s到0 m/s花了4 s，试比较两辆车的刹车性能.

解　甲车速度的平均变化率为＝－5(m/s2)，乙车速度的平均变化率为＝－4.5(m/s2)，

平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好.

思维升华　平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等.解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量.

训练3 已知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3.

(1)求半径r关于体积V的函数r(V)；

(2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L半径r的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？

解　(1)∵V＝πr3，

∴r3＝，r＝，

即r(V)＝.

(2)函数r(V)在区间[0，1]上的平均变化率约为＝≈0.62(dm/L)，

函数r(V)在区间[1，2]上的平均变化率约为＝－

≈0.16(dm/L).

显然体积V从0 L增加到1 L时，半径变化快，这说明气球刚开始膨胀的比较快，随着体积的增大，半径增加的越来越慢.

[课堂小结]

1.牢记1个知识点

平均变化率对函数而言，即是函数值的改变量与自变量的改变量的比值，即平均变化率为.

2.明确平均变化率的意义

平均变化率的绝对值越大，表示函数值变化得越快，绝对值越小，表示函数值变化得越慢.平均变化率的正负只表示变化的方向.

一、基础达标

1.已知函数y＝2＋，当x由1变到2时，函数值的改变量等于(　　)

A.  B.－ 

C.1  D.－1

答案　B

解析　函数值的改变量为－(2＋1)＝－.

2.已知函数f(x)＝x2＋2，则该函数在区间[1，3]上的平均变化率为(　　)

A.4  B.3

C.2  D.1

答案　A

解析　∵f(3)＝11，f(1)＝3，

∴该函数在区间[1，3]上的平均变化率为＝＝4.

3.一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2，2.1]这段时间内的平均变化率为(　　)

A.0.4  B.2 

C.0.3  D.0.2

答案　B

解析　在[2，2.1]这段时间内的平均变化率为＝2.

4.某物体的运动方程为s＝5－2t2，则该物体在时间[1，1＋d]上的平均速度为(　　)

A.2d＋4  B.－2d＋4

C.2d－4  D.－2d－4

答案　D

解析　平均速度为＝－2d－4.故选D.

5.函数y＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则(　　)

A.k1>k2  B.k1<k2

C.k1＝k2  D.不确定

答案　A

解析　因为k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，

又由题意知Δx>0，所以k1>k2.

6.函数f(x)＝log2x在区间[2，4]上的平均变化率是________.

答案　

解析　函数的平均变化率是

＝＝.

7.如图所示为物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，则在0到t0范围内甲的平均速度________乙的平均速度，在t0到t1范围内甲的平均速度________乙的平均速度(填“等于”“大于”或“小于”).

答案　等于　大于

解析　由图可知，在[0，t0]上，甲的平均速度与乙的平均速度相同；在[t0，t1]上，甲的平均速度大于乙的平均速度.

8.若函数y＝x3＋2在区间[1，a]上的平均变化率为21，则a＝________.

答案　4

解析　由＝＝a2＋a＋1＝21，

解得a＝4或a＝－5.

又∵a>1，∴a＝4.

9.求函数f(x)＝x2＋＋4在区间[1，2]上的平均变化率.

解　f(x)＝x2＋＋4在区间[1，2]上的平均变化率为＝.

10.求函数y＝sin x在0到之间和到之间的平均变化率，并比较它们的大小.

解　在0到之间的平均变化率为＝；

在到之间的平均变化率为＝.

∵2－<1，∴>，

∴函数y＝sin x在0到之间的平均变化率较大.

二、能力提升

11.如图是函数y＝f(x)的图象，函数f(x)在区间[－1，1]，[0，2]上的平均变化率分别为m1，m2，则m1，m2的大小关系是(　　)

A.m1＞m2  B.m1＜m2

C.m1＝m2  D.无法确定

答案　B

解析　函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为m1＝＝＝.

由函数f(x)的图象知，f(x)＝

所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为m2＝＝＝.

所以m1＜m2.

12.函数f(x)的图象如图，则函数f(x)在下列区间上平均变化率最大的是(　　)

A.[1，2]  B.[2，3]

C.[3，4]  D.[4，7]

答案　C

解析　函数f(x)在区间上[x1，x2]的平均变化率为，

由函数图象可得，在区间[4，7]上，<0，即函数f(x)在区间[4，7]上的平均变化率小于0；

在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]上，>0，由图象可知函数在区间[3，4]上的平均变化率最大.

所以函数f(x)在区间[3，4]上的平均变化率最大.

13.已知函数f(x)＝2x2＋1.

(1)求函数f(x)在[2，2.01]上的平均变化率；

(2)求函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率.

解　(1)由f(x)＝2x2＋1，

得f(2.01)－f(2)＝0.080 2，

又2.01－2＝0.01，

∴＝＝8.02.

(2)∵f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝2Δx(2x0＋Δx)，

∴＝＝4x0＋2Δx.

三、创新拓展

14.函数f(x)＝x，g(x)＝x2，h(x)＝x3在[0，1]上的平均变化率分别记为m1，m2，m3，则下列结论正确的是(　　)

A.m1＝m2＝m3  B.m1>m2>m3

C.m2>m1>m3  D.m1<m2<m3

答案　A

解析　m1＝＝f(1)－f(0)＝1－0＝1，

m2＝＝g(1)－g(0)＝12－0＝1，

m3＝＝h(1)－h(0)＝13－0＝1，故m1＝m2＝m3，故选A.