高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第5章 导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用课前预习课件ppt

5.2　导数的运算

5.2.1　基本初等函数的导数

课标要求　1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.2.会使用导数公式解决问题.

素养要求　在利用导数的定义求基本初等函数的导数及利用导数公式解决问题的过程中，发展学生的数学运算素养.

一、常见函数的导数

1.思考　如何求f(x)＝kx＋b的导数？

提示　因为＝＝＝k，

所以 ＝k，故f′(x)＝k.

由导数几何意义，对于y＝kx＋b，可看成是某质点做匀速直线运动的模型，其在任意一点的瞬时速度不变，故在每一点的导数均为该直线的斜率.

2.填空　(1)若f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，则f′(x)＝k，即(kx＋b)′＝k；

(2)若f(x)＝C(常数)，则f′(x)＝0，

即C′＝0；

(3)若f(x)＝x，则f′(x)＝1，即x′＝1；

(4)若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，

即(x2)′＝2x；

(5)若f(x)＝x3，则f′(x)＝3x2，

即(x3)′＝3x2；

(6)若f(x)＝，则f′(x)＝－，

即′＝－；

(7)若f(x)＝，则f′(x)＝，

即()′＝.

温馨提醒　(1)在以后求导数时，可直接应用上述常见函数的导数，不必再用定义去求导.

(2)熟记这些公式，注意不要将y＝的导数错记为y′＝，也不要将y＝的导数错记为y′＝.

3.做一做　已知f(x)＝x2，则f′(3)等于(　　)

A.0  B.2x

C.6  D.9

答案　C

解析　∵f(x)＝x2，

∴f′(x)＝2x，

∴f′(3)＝6.

二、基本初等函数的导数公式

1.填空　(1)(xα)′＝αxα－1(α为常数)；

(2)(ax)′＝axln__a(a>0且a≠1)；

(3)(logax)′＝logae＝(a>0且a≠1)；

(4)(ex)′＝ex；

(5)(ln x)′＝；

(6)(sin x)′＝cos__x；

(7)(cos x)′＝－sin__x.

温馨提醒　(1)对基本初等函数的求导公式的理解：不要求根据导数定义推导这七个基本初等函数的求导公式，只要求能够利用它们求简单函数的导数.

(2)对数函数、指数函数的导数公式中，公式(ln x)′＝，(ex)′＝ex很好记忆，但公式(logax)′＝，(ax)′＝axln a的记忆比较难，特别是ln a的位置易记错.

2.做一做　若f(x)＝sin x，则f′＝(　　)

A.－  B.－

C.  D.

答案　D

解析　f′(x)＝cos x，f′＝cos＝.

题型一　利用导数公式求函数的导数

例1 求下列函数的导数：

(1)y＝sin ；(2)y＝；(3)y＝；

(4)y＝；(5)y＝log3x.

解　(1)y′＝0；

(2)y′＝ln ＝－ln 2；

(3)y′＝(x－)′＝－x－＝－；

(4)y′＝()′＝(x)′＝x－＝；

(5)y′＝(log3x)′＝.

思维升华　求简单函数的导函数的基本方法：

(1)用导数的定义求导，但运算比较繁琐；

(2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.

训练1 求下列函数的导数：

(1)y＝x13；

(2)y＝；

(3)y＝sin x；

(4)y＝.

解　(1)y′＝(x13)′＝13x13－1＝13x12；

(2)y′＝()′＝(x)′＝x－1＝x－＝；

(3)y′＝(sin x)′＝cos x；

(4)y′＝′＝(x－)′＝－x－－1＝－x－＝－.

题型二　利用导数公式解决切线问题

角度1　求切线的方程

例2 曲线y＝在点处的切线方程是(　　)

A.y＝4x  B.y＝－4x＋4

C.y＝4x＋4  D.y＝2x－4

答案　B

解析　∵y′＝′＝－x－2，

∴k＝y′|x＝＝－＝－4，

∴切线方程为y－2＝－4，

即y＝－4x＋4.

角度2　求参数值

例3 已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝________.

答案　

解析　设切点坐标为(x0，y0)，

由题意得y′|x＝x0＝＝k，又y0＝kx0，而且y0＝ln x0，从而可得x0＝e，y0＝1，则k＝.

角度3　曲线上的点到直线的最小距离问题

例4 设P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.

解　如图，设l是与直线y＝x平行，且与曲线y＝ex相切的直线，则切点到直线y＝x的距离最小.

设直线l与曲线y＝ex相切于点P(x0，y0).

因为y′＝ex，所以ex0＝1，所以x0＝0.

代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0，1).

所以点P到直线y＝x的最小距离为＝.

思维升华　利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况

(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.

(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.

训练2 (1)求曲线y＝在点B(1，1)处的切线方程；

(2)求曲线y＝ln x的斜率等于4的切线方程.

解　(1)设所求切线的斜率为k.

∵y′＝()′＝x－，∴k＝y′|x＝1＝，

∴曲线y＝在点B(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.

(2)设切点坐标为(x0，y0).

∵y′＝，曲线y＝ln x在点(x0，y0)处的切线的斜率等于4，

∴y′|x＝x0＝＝4，得x0＝，

∴y0＝－ln 4，

∴切点为，

∴所求切线方程为y＋ln 4＝4，

即4x－y－1－ln 4＝0.

题型三　导数公式的实际应用

例5 某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确0.01万元/年)？(参考数据：1.15≈1.611，ln 1.1≈0.095)

解　由题意得p′(t)＝1.1tln 1.1，

所以p′(5)＝1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)，

所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年.

思维升华　由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量在某一时刻的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数.

训练3 从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cos t表示.求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安).

解　由q＝cos t得q′＝－sin t，

所以q′(5)＝－sin 5，q′(7)＝－sin 7，

即第5秒、第7秒时的电流强度分别是－sin 5安、－sin 7安.

[课堂小结]

1.熟记基本初等函数的求导公式

2.掌握1种方法

利用公式求导时，一般遵循“先化简，再求导”的原则.

3.注意1个易错点

混淆指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与幂函数y＝xα(α为常数)的求导公式而致错.

一、基础达标

1.函数y＝3x在x＝2处的导数为(　　)

A.9  B.6

C.9ln 3  D.6ln 3

答案　C

解析　y′＝(3x)′＝3xln 3，故所求导数为9ln 3.

2.(多选)下列结论中，正确的是(　　)

A.若y＝，则y′＝－

B.若y＝，则y′＝

C.若y＝，则y′＝－2x－3

D.若f(x)＝3x，则f′(1)＝3

答案　ACD

解析　由(xα)′＝αxα－1知，

选项A，y＝＝x－3，

则y′＝－3x－4＝－；

选项B，y＝＝x，则y′＝x－≠；

选项C，y＝＝x－2，则y′＝－2x－3；

选项D，由f(x)＝3x知f′(x)＝3，

∴f′(1)＝3.

∴选项A，C，D正确.

3.若函数f(x)＝cos x，则f′＋f的值为(　　)

A.0  B.－1 

C.1  D.2

答案　A

解析　f′(x)＝－sin x，

所以f′＋f＝－sin＋cos＝0.

4.曲线f(x)＝x3的斜率等于1的切线有(　　)

A.1条  B.2条

C.3条  D.不确定

答案　B

解析　f′(x)＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x＝1，得x0＝±，即在点和点处有斜率为1的切线.所以有2条切线.

5.(多选)以下运算正确的是(　　)

A.′＝ B.(cos x)′＝－sin x

C.(2x)′＝2xln 2 D.(lg x)′＝－

答案　BC

解析　对于A，′＝－，所以A不正确；对于B，因为(cos x)′＝－sin x，故B正确；对于C，因为(2x)′＝2xln 2，所以C正确；对于D，因为(lg x)′＝，所以D不正确.

6.若曲线y＝ln x在x＝a处的切线倾斜角为，则a＝______.

答案　1

解析　y′＝，∴y′|x＝a＝＝1.∴a＝1.

7.若y＝10x，则y′|x＝1＝________.

答案　10ln 10

解析　y′＝10xln 10，

∴y′|x＝1＝10ln 10.

8.设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 022(x)＝________.

答案　－sin x

解析　由已知得，f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2 022(x)＝f2(x)＝－sin x.

9.求下列函数的导数.

(1)y＝－2sin ；

(2)y＝log2 x2－log2 x.

解　(1)∵y＝－2sin

＝2sin ＝2sin cos ＝sin x，

∴y′＝(sin x)′＝cos x.

(2)∵y＝log2 x2－log2 x＝log2 x，

∴y′＝(log2 x)′＝.

10.若曲线y＝x－在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求实数a的值.

解　∵y＝x－，∴y′＝－x－，

∴曲线在点(a，a－)处的切线斜率

k＝－a－，

∴切线方程为y－a－＝－a－(x－a).

令x＝0，得y＝a－；令y＝0，得x＝3a，

∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝×3a·a－＝a＝18，

∴a＝64.

二、能力提升

11.已知函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是(　　)

A.18  B.21 

C.24  D.27

答案　B

解析　∵y′＝2x，∴y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak).又该切线与x轴的交点为(ak＋1，0)，∴ak＋1＝ak，即数列{ak}是首项a1＝16，公比q＝的等比数列，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.

12.如图所示，水波的半径以1 m/s的速度向外扩张，当半径为5 m时，这水波面的圆面积的瞬时膨胀率是________m2/s.

答案　10π

解析　因为水波的半径以v＝1 m/s的速度向外扩张，水波面的圆面积S＝πr2＝π(vt)2＝πt2.

所以利用瞬时变化率，可求水波面的圆面积在时刻t0时的瞬时膨胀率S′|t＝t0＝2πt0.

当半径为5 m时，t＝5 s，所以S′|t＝5＝2π×5＝10π，即半径为5 m时，这水波面的圆面积的瞬时膨胀率是10π m2/s.

13.已知点A，B(2，1)，函数f(x)＝log2x.

(1)过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程；

(2)在曲线y＝f(x)上是否存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.

解　(1)设切点为(m，log2m)(m>0).

因为f(x)＝log2x，所以f′(x)＝.

由题意可得＝，解得m＝e，

所以切线方程为y－log2e＝(x－e)，

即y＝x.

(2)过点A，B(2，1)的直线的斜率为kAB＝.

假设存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行.设P(n，log2n)，≤n≤2，

则有＝，得n＝.

又＝ln <ln 2<ln e＝1，所以<<，所以在曲线y＝f(x)上存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，且点P的横坐标为.

三、创新拓展

14.已知P为曲线y＝ln x上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，则当P的坐标为________时，PQ最小，此时最小值为________.

答案　(1，0)　

解析　如图，当直线l与曲线y＝ln x相切且与直线y＝x＋1平行时，切点到直线y＝x＋1的距离即为PQ的最小值.易知(ln x)′＝，令＝1，得x＝1，故此时点P的坐标为(1，0)，所以PQ的最小值为＝.