【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件午练13　等比数列的概念与通项公式

午练13　等比数列的概念与通项公式

1.已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于(　　)

A.±   B.－ 

C.   D.±

答案　C

解析　根据等比数列的性质可知

a1a5＝a，∴a5＝＝.

2.(多选)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则下列结论不正确的是(　　)

A.数列{anan＋1}是公比为q的等比数列

B.数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列

C.数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列

D.数列是公比为的等比数列

答案　ABC

解析　对于A，由＝q2(n≥2)知{anan＋1}是公比为q2的等比数列；对于B，若q＝－1，则{an＋an＋1}各项均为0，不是等比数列；对于C，若q＝1，则数列{an－an＋1}各项均为0，不是等比数列；对于D，＝＝，所以数列是公比为的等比数列，故选ABC.

3.两个公比均不为1的等比数列{an}，{bn}，其前n项的乘积分别为An，Bn.若＝2，则＝(　　)

A.512  B.32 

C.8  D.2

答案　A

解析　因为A9＝a1a2a3…a9＝a，B9＝b1b2b3…b9＝b，所以＝＝512.

4.在数列{an}中，对任意n∈N*，都有an＋1－2an＝0(an≠0)，则＝(　　)

A.1  B. 

C.  D.

答案　D

解析　由an＋1－2an＝0(an≠0)，得＝2，

∴数列{an}为等比数列，且公比q＝2.

∴＝＝.

5.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　)

A.5  B.7 

C.6  D.±5

答案　A

解析　法一　由等比中项的性质知a1a2a3＝a＝5，a7a8a9＝a＝10，所以a2a8＝50，

所以a4a5a6＝a＝()3＝(50)3＝5.

法二　由等比数列的性质知a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9构成等比数列，所以(a1a2a3)·(a7a8a9)＝(a4a5a6)2，所以a4a5a6＝±＝±5.

又数列各项均为正数，所以a4a5a6＝5.

6.在3和一个未知数之间填上一个数，使三个数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是________.

答案　3或27

解析　设此三个数分别为3，a，b，

则

解得或

∴这个未知数为3或27.

7.已知数列{an}是等差数列，公差d不为零.若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________.

答案　　－1

解析　由题意可得(a1＋2d)2＝(a1＋d)·(a1＋6d)，故有3a1＋2d＝0　①.由2a1＋a2＝1，得3a1＋d＝1　②，联立①②解得d＝－1，a1＝.

8.已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足anan＋1an＋2>的最大正整数n的值为________.

答案　4

解析　设数列{an}的公比为q(q>0)，

∵a2a4＝a＝4，且a3>0，

∴a3＝2.

∴a1＋a2＋a3＝＋＋2＝14，

∴＝－3(舍去)或＝2，即q＝，a1＝8.

∴an＝a1qn－1＝8×＝，

∴anan＋1an＋2＝>.

即23n－9<9，

∵n∈N*，

∴n的最大值为4.

9.在等比数列{an}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于________.

答案　－213

解析　由于{an}是等比数列，

∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9

＝a6a8＝a，

∴a1a2a3…a13＝(a)6·a7＝a，

而a7＝－2.

∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213.

10.在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.

已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________；求数列{an}，{bn}的通项公式.

解　选条件①：

因为a3＝5，所以a1＋2d＝5.

因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，所以2a1＋5d＝6a1d.

联立

解得或(舍去)，

则a1＝b1＝1，d＝q＝2，

故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，

bn＝b1qn－1＝2n－1.

选条件②：

因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2.

因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2.

联立

解得或(舍去)，

则a1＝b1＝1，d＝q＝2，

故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，

bn＝b1qn－1＝2n－1.

选条件③：

因为S3＝9，所以3a1＋3d＝9.

因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q，

所以2a1＋7d＝8a1d.

联立

解得或(舍去)，

则a1＝b1＝1，d＝q＝2，

故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，

bn＝b1qn－1＝2n－1.