【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件午练15　数列的通项与求和

午练15　数列的通项与求和

1.已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，则a100的值是(　　)

A.9 900  B.9 902 

C.9 904  D.11 000

答案　B

解析　a100＝(a100－a99)＋(a99－a98)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2＝2×＋2＝9 902.

2.已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝，则这个数列的第n项为(　　)

A.2n－1  B. 

C.  D.

答案　C

解析　∵an＋1＝，a1＝2，

∴＝＝＋，

∴－＝.

∴为等差数列，公差为，首项＝.

∴＝＋(n－1)×＝n，

∴an＝.

3.已知数列{an}的通项an＝2n＋1，n∈N*，则由bn＝所确定的数列{bn}的前n项的和是(　　)

A.n(n＋2)  B.n(n＋4)

C.n(n＋5)  D.n(n＋7)

答案　C

解析　∵a1＋a2＋…＋an＝(2n＋4)＝n2＋2n，

∴bn＝n＋2，

∴{bn}的前n项和Sn＝.

4.数列，，，…，

，…的前n项和Sn为(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　B

解析　∵＝，

∴Sn＝＋＋…＋＝＝.

5.(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且对于任意n>1，n∈N*，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，则(　　)

A.a9＝17  B.a10＝18

C.S9＝81  D.S10＝91

答案　BD

解析　∵对于任意n>1，n∈N*，

满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，

∴Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，

∴an＋1－an＝2.

∴数列{an}在n≥2时是等差数列，公差为2.又a1＝1，a2＝2，则a9＝2＋7×2＝16，a10＝2＋8×2＝18，S9＝1＋8×2＋×2＝73，S10＝1＋9×2＋×2＝91.故选BD.

6.设an＝，数列{an}的前n项和Sn＝9，则n＝________.

答案　99

解析　an＝＝－，

故Sn＝－1＋－＋…＋－＝－1＝9.

解得n＝99.

7.在数列{an}中，已知Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，n∈N*，则S15＋S22－S31的值是________.

答案　－76

解析　S15＝－4×7＋a15＝－28＋57＝29，

S22＝－4×11＝－44，

S31＝－4×15＋a31＝－60＋121＝61，

∴S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.

8.已知数列{an}的通项公式an

＝Sn为{an}的前n项和，则S100＝________.

答案　5 000

解析　由题意得S100＝a1＋a2＋…＋a99＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100)＝5 000.

9.设等差数列{an}满足a2＝5，a6＋a8＝30，则an＝________，数列的前n项和为________.

答案　2n＋1　

解析　设等差数列{an}的公差为d.

∵{an}是等差数列，

∴a6＋a8＝30＝2a7，解得a7＝15，

∴a7－a2＝5d.又a2＝5，则d＝2.

∴an＝a2＋(n－2)d＝2n＋1.

∴＝＝，

∴的前n项和为

＝＝.

10.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N*.

(1)设bn＝，证明：数列{bn}是等差数列；

(2)在(1)的条件下求数列{an}的前n项和Sn.

(1)证明　由已知an＋1＝2an＋2n，

得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.

∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1，

∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.

(2)解　由(1)知，bn＝n，＝bn＝n.

∴an＝n·2n－1.

∴Sn＝1＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1，

两边同时乘以2得

2Sn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，

两式相减得

－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n

＝2n－1－n·2n＝(1－n)·2n－1，

∴Sn＝(n－1)·2n＋1.