【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件午练17　导数的运算

午练17　导数的运算

1.已知函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝(　　)

A.－4  B.4 

C.－2  D.2

答案　A

解析　由f(x)＝x2＋2xf′(1)，

得f′(x)＝2x＋2f′(1).

令x＝1，则f′(1)＝2×1＋2f′(1)，

解得f′(1)＝－2.

令x＝0，则f′(0)＝2×0＋2f′(1)＝－4.

故选A.

2.曲线y＝x3－2x＋3在点处的切线的倾斜角为(　　)

A.  B.

C.π  D.π

答案　D

解析　由y＝x3－2x＋3，得y′＝x2－2，

所以y′|x＝1＝12－2＝－1，所以切线的斜率为－1.设切线的倾斜角为α，由tan α＝－1，且0≤α<π，得α＝，故选D.

3.已知函数f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f(e)＝(　　)

A.－e  B.e 

C.－1  D.1

答案　C

解析　由题得f′(x)＝2f′(e)＋，

∴f′(e)＝2f′(e)＋，

解得f′(e)＝－.

∴f(e)＝2ef′(e)＋ln e＝2e·＋1＝－1.故选C.

4.曲线f(x)＝ex(x2－x－1)在点(0，f(0))处的切线方程是(　　)

A.x＋y＋1＝0  B.x－y＋1＝0

C.2x－y＋1＝0  D.2x＋y＋1＝0

答案　D

解析　f′(x)＝ex(x2＋x－2)，

∴f′(0)＝－2，又f(0)＝－1，

∴曲线f(x)＝ex(x2－x－1)在点(0，f(0))处的切线方程是y＋1＝－2(x－0)，即2x＋y＋1＝0.故选D.

5.(多选)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为(　　)

A.f(x)＝3sin x  B.f(x)＝x3＋x2

C.f(x)＝x＋  D.f(x)＝ex＋x

答案　AC

解析　由函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，得导函数f′(x)为偶函数.

对于A，函数f′(x)＝3cos x，其定义域为R，f′(－x)＝3cos(－x)＝3cos x＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数，符合题意；

对于B，函数f′(x)＝3x2＋2x，f′(x)是非奇非偶函数，不符合题意；

对于C，函数f′(x)＝1－，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(－x)＝1－＝1－＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；

对于D，函数f′(x)＝ex＋1，f′(x)是非奇非偶函数，不符合题意.故选AC.

6.设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.

答案　2

解析　易知y′＝aeax，y′|x＝0＝ae0＝a，

故a·＝－1，则a＝2.

7.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝f′sin 3x＋cos 3x，则f′＝________.

答案　3

解析　∵f(x)＝f′sin 3x＋cos 3x，

∴f′(x)＝f′·3cos 3x－3sin 3x，

令x＝可得f′＝f′·3cos －3sin ，即f′＝f′－3×，

解得f′＝3.

8.一个物体的位移s(米)与时间t(秒)的关系为s＝2＋10t－t2，则该物体在3秒末的瞬时速度是________米/秒.

答案　4

解析　由题意，物体的位移s(米)与时间t(秒)的关系为s＝2＋10t－t2，则s′＝10－2t.

当t＝3时，s′＝10－2×3＝4，则3秒末的瞬时速度为4米/秒.

9.下列结论正确的是________.(填序号)

①若y＝ln 2，则y′＝；②若y＝，则y′|x＝3＝－；③若y＝2x，则y′＝2xln 2；

④若y＝log2x，则y′＝.

答案　②③④

解析　根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，可得，

对于①，函数y＝ln 2，则y′＝0，所以①不正确；

对于②，函数y＝，可得y′＝－，

所以y′|x＝3＝－，故②正确；

对于③，函数y＝2x，可得y′＝2xln 2，所以③正确；

对于④，函数y＝log2 x，则y′＝，所以④正确.

故答案为②③④.

10.已知函数f(x)＝－1(a>0)的图象在x＝1处的切线为l，求l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值.

解　∵f′(x)＝，∴f′(1)＝.

又∵f(1)＝－1，

∴曲线f(x)在x＝1处的切线l的方程是y－＋1＝(x－1).

令x＝0，得y＝－－1；

令y＝0，得x＝.

∴l与两坐标轴围成的三角形的面积为

S＝·

＝≥×(2＋2)＝1，

当且仅当a＝，即a＝1时，等号成立，

∴直线l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为1.