【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件培优课　借助几何性质解决圆中的最值问题

培优课　借助几何性质解决圆中的最值问题

高中数学中，在研究圆的相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把常见的与圆相关的最值问题总结如下.希望对学生有些启发.

类型一　“圆上一点到直线距离的最值”问题

例1 已知圆C经过(2，5)，(－2，1)两点，并且圆心C在直线y＝x上.

(1)求圆C的方程；

(2)求圆C上的点到直线3x－4y＋23＝0的最大距离.

解　(1)点(2，5)与点(－2，1)连线的中点为(0，3)，中垂线方程为y＝－x＋3，

联立

解得圆心坐标为(2，1)，

∴r＝5－1＝4.

∴圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝16.

(2)圆的圆心为(2，1)，半径r＝4.

圆心到直线3x－4y＋23＝0的距离

d＝＝5.

则圆上的点到直线3x－4y＋23＝0的最大距离为d＋r＝9.

思维升华　求圆上一点到直线距离的最值问题，常转化为求圆心到定直线的距离问题来解决.

类型二　“圆上一点到定点距离的最值”问题

例2 已知点P(x，y)是圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0上的一动点，求：

(1)x2＋y2的最小值；

(2)点P到直线x－y－2＝0的距离的最大值.

解　将x2＋y2－6x－4y＋12＝0化为(x－3)2＋(y－2)2＝1，圆心为C(3，2)，半径r＝1.

(1)设z＝x2＋y2，则z的几何意义为圆上的点到原点的距离的平方.原点到圆心的距离d＝＝，

∴圆上的点到原点的最小距离为－1，

∴x2＋y2的最小值为14－2；

(2)圆心到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，

∴点P到直线x－y－2＝0的距离d的最大值为＋1.

思维升华　形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题的实质是两点间距离.涉及与圆相关的两点的距离，总是转化为圆心与定点距离问题来解决.

类型三　“过定点的弦长”问题

例3 已知直线l：(3＋t)x－(t＋1)y－4＝0(t为参数)和圆C：x2＋y2－6x－8y＋16＝0.

(1)t∈R时，证明直线l与圆C总相交；

(2)直线l被圆C截得弦长最短时，求此弦长并求此时t的值.

(1)证明　直线l：(3＋t)x－(t＋1)y－4＝0可化为t(x－y)＋(3x－y－4)＝0，

令解得

∴直线l恒过定点A(2，2)，

把点(2，2)代入可得22＋22－12－16＋16＝－4＜0，∴点A(2，2)在圆内，

∴t∈R时，直线l与圆C总相交.

(2)解　直线l被圆C截得的弦长最短时，弦心距最大，此时CA⊥l.

∵圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9，

∴圆心C(3，4)，半径为3，

∴CA的斜率为2，

∴l的斜率为－.

∵直线l：(3＋t)x－(t＋1)y－4＝0的斜率为.

∴＝－.∴t＝－，

∵CA＝＝，

∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为

2＝4.

思维升华　当直线与圆相交时，弦长最短，需使弦心距最大，然后根据垂径定理由垂直得中点，进而利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理解决问题.

类型四　利用“数形结合方法”解决直线与

圆的问题

例4 已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点.

(1)求的最大、最小值；

(2)求x－2y的最大、最小值.

解　法一　(1)设k＝，

则y－2＝kx－k，即kx－y＋2－k＝0.

∵P(x，y)为圆C上任一点，

∴圆心(－2，0)到直线kx－y＋2－k＝0的距离d＝＝≤1，

即|2－3k|≤，

平方得8k2－12k＋3≤0，

解得≤k≤，

故的最大值为，最小值为；

(2)设b＝x－2y，即x－2y－b＝0.

∵P(x，y)为圆C上任一点，

∴圆心(－2，0)到直线的距离d＝＝≤1，即|b＋2|≤，

则－2－≤b≤－2，

故x－2y的最大值为－2，最小值为－2－.

法二　(1)可看作圆上的点(x，y)与点(1，2)连线的斜率.

令k＝，则y－2＝kx－k，即kx－y＋2－k＝0.

当直线kx－y＋2－k＝0与圆相切时，k取得最大值和最小值，

此时＝1，

解得k＝.

故的最大值为，最小值为.

(2)设b＝x－2y，即y＝x－，当y＝x－与圆相切时，纵截距－取得最值，从而b取得最值，此时＝1，

解得b＝－2±.

故x－2y的最大值为－2＋，最小值为－2－.

思维升华　(1)解决此类问题的关键是利用几何意义进行求解.

(2)表示点A(x，y)和点B(a，b)连线的斜率，ax＋by往往转化为截距来解决.