【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件培优课　圆锥曲线的热点问题——定点、定值、探索性问题

培优课　圆锥曲线的热点问题——定点、定值、探索性问题

1.定点问题

圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点.解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，而这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个点，就是要求的定点.求解这类难点问题的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.

2.定值问题

圆锥曲线中的定值问题是高考命题的又一热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点.解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个值，就是要求的定值.具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值.

类型一　定点问题

例1 在平面直角坐标系中，点P(x，y)为动点.已知点A(，0)，B(－，0)，直线PA与PB的斜率之积为－.

(1)求动点P的轨迹E的方程；

(2)过点F(1，0)的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q(M，Q不重合)，求证：直线MQ过定点.

(1)解　由题意知·＝－，

化简得＋y2＝1(y≠0).

(2)证明　法一　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x2，－y2)，l：x＝my＋1(m≠0)，

将x＝my＋1代入＋y2＝1(y≠0)，

整理得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，则

y1＋y2＝，y1y2＝.

又MQ的方程为y－y1＝(x－x1)，

令y＝0，得x＝x1＋＝my1＋1＋＝＋1＝2，

所以直线MQ过定点(2，0).

法二　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x2，－y2)，l：y＝k(x－1)(k≠0)，

将y＝k(x－1)代入＋y2＝1(y≠0)，

整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝.

又MQ的方程为y－y1＝(x－x1)，

令y＝0，得x＝x1＋＝x1＋＝＝2，所以直线MQ过定点(2，0).

思维升华　圆锥曲线中定点问题的两种解法

(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.

(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

类型二　定值问题

例2 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，＋与a＝(3，－1)共线.设M为椭圆上任意一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求证：λ2＋μ2为定值.

证明　∵M是椭圆上任意一点，若M与A(或B)重合，则＝(或)，此时λ＝1，μ＝0(或λ＝0，μ＝1)，

∴λ2＋μ2＝1，即需要证明λ2＋μ2为定值1.

设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

线段AB的中点为N(x0，y0)，

则有①－②得

＋＝0，

即＝－＝－.

∵kAB＝＝1，

∴y0＝－x0.

∴直线ON的方向向量＝.

又∵∥a，∴＝，∴a2＝3b2，

故椭圆方程为x2＋3y2＝3b2.

又过右焦点的直线AB的方程为y＝x－c.

联立

得4x2－6cx＋3c2－3b2＝0.

∴x1＋x2＝c，x1x2＝＝c2.

设M(x，y)，则由＝λ＋μ

可得

代入椭圆方程整理得

λ2(x＋3y)＋μ2(x＋3y)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2.

又∵x＋3y＝3b2，x＋3y＝3b2，

x1x2＋3y1y2＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2＝c2－c2＋3c2＝0，

∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值.

思维升华　圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

(1)证明代数式为定值.依题设条件得出与代数式参数有关的等式，代入所求代数式，化简得出定值.

(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的表达式，再利用题设条件化简、变形.

(3)求某线段长度为定值.利用两点间距离公式得出表达式，再依据题设条件对其进行化简、变形即可.

类型三　探索性问题

例3 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x＋y－1＝0与抛物线交于A，B两点，且AB＝.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)在x轴上是否存在一点C，使△ABC为正三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

解　(1)由题意，设所求抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).

由消去y，

得x2－2(1＋p)x＋1＝0.

则x1＋x2＝2(1＋p)，x1x2＝1.

由AB＝＝，得121p2＋242p－48＝0，

解得p＝或p＝－(舍去)，

∴抛物线的标准方程为y2＝x.

(2)设AB的中点为点D，则D.

假设在x轴上存在满足条件的点C(x0，0)，连接CD.

∵△ABC为正三角形，

∴CD⊥AB，即·(－1)＝－1，

解得x0＝，∴C.

∴CD＝＝.

又CD＝AB＝≠，

∴在x轴上不存在点C，使△ABC 为正三角形.

思维升华　此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.