【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件培优课　圆锥曲线的热点问题——最值、范围、证明问题

培优课　圆锥曲线的热点问题——最值、范围、证明问题

1.圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

(1)代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法、基本不等式法、换元法等求最值.

(2)几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线的几何意义求最值.

2.解决圆锥曲线中的取值范围问题常从五方面考虑：

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(4)利用已知的不等关系构造不等式或者建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式求参数的取值范围；

(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

类型一　最值问题

例1 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若过点P(0，2)的直线交椭圆C于A，B两点，求△OAB(O为原点)面积的最大值.

解　(1)根据题意知，离心率e＝＝，

即＝.

因为c2＝a2－b2，所以＝，

整理得a2＝3b2.①

又由椭圆C经过点，

可得＋＝1，即＋＝1.②

联立①②，解得

所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.

(2)由题意，易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋2，

由得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0.

由Δ＝(12k)2－4×9(1＋3k2)>0，得k2>1.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1x2＝，

所以AB＝·|x1－x2|＝·

＝·＝6·.

点O(0，0)到直线kx－y＋2＝0的距离d＝，所以S△OAB＝AB·d

＝·＝.

令＝t(t>0)，则k2＝t2＋1，

所以S△OAB＝＝≤＝，

当且仅当＝3t，即t2＝时等号成立，此时k2＝，

所以△OAB 面积的最大值为.

思维升华　求最值常用的方法有两种：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现图形的几何特征及意义，则考虑利用图形的性质来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.

类型二　范围问题

例2 如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.

(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围.

(1)证明　设P(x0，y0)，A，

B.

因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程＝4·，

即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根.

所以y1＋y2＝2y0，即＝y0，因此PM垂直于y轴.

(2)解　由(1)可知

所以PM＝(y＋y)－x0＝y－3x0，

|y1－y2|＝2.

因此，△PAB的面积S△PAB＝PM·|y1－y2|＝(y－4x0).

因为x＋＝1(－1≤x0<0)，

所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4，5]，

因此，△PAB面积的取值范围是.

思维升华　求参数的取值范围问题常用的方法有两种：①不等式(组)法，根据题意结合图形列出所讨论的参数满足的不等式(组)，通过不等式(组)得出参数的取值范围；②函数值域法，用某变量的函数表示所讨论的参数，通过讨论函数的值域求得参数的取值范围.

类型三　证明问题

例3 设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0).

(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.

(1)解　由已知得F(1，0)，则直线l的方程为x＝1.

则点A的坐标为或.

又M(2，0)，

所以直线AM的方程为y＝－x＋或y＝x－，

即x＋y－2＝0或x－y－2＝0.

(2)证明　当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，

所以∠OMA＝∠OMB.

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为

y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1<，x2<，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋.

由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k，

得kMA＋kMB＝.

将y＝k(x－1)代入＋y2＝1，

得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝8k2＋8>0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k

＝＝0.

从而kMA＋kMB＝0，故直线MA，MB的倾斜角互补.

所以∠OMA＝∠OMB.

综上，∠OMA＝∠OMB成立.

思维升华　圆锥曲线中的证明问题，常见位置关系方面的证明：如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的证明：如存在定值、恒成立等.在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，多采用直接法证明，但有时也会用到反证法.