【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件进阶训练1(范围1.1～1.3)

进阶训练1(范围1.1～1.3)

一、基础达标

1.有如下几种说法：

①两条平行直线的斜率相等；

②若两条直线垂直，则它们的斜率互为负倒数；

③若一条直线的斜率为tan α，则这条直线的倾斜角为α；

④若两条不同直线的倾斜角的正弦值相等，则这两条直线平行.

其中正确说法的个数是(　　)

A.1  B.2 

C.3  D.0

答案　D

解析　①不正确，当两条直线斜率存在时才相等；②不正确，如一条直线平行于x轴，斜率为0，另一条直线与x轴垂直，斜率不存在，但它们也垂直；③不正确，需加上条件0°≤α<180°；④不正确，如两条直线的倾斜角α1＝30°，α2＝150°，虽有sin α1＝sin α2，但这两条直线不平行(若正切值相等，则两条直线平行).

2.已知直线l经过点P(2，1)，且与直线2x－y＋2＝0平行，那么直线l的方程是(　　)

A.2x－y－3＝0  B.x＋2y－4＝0

C.2x－y－4＝0  D.x－2y－4＝0

答案　A

解析　由题意可设所求的方程为2x－y＋c＝0(c≠2)，代入已知点(2，1)，可得4－1＋c＝0，即c＝－3，

故所求直线的方程为2x－y－3＝0，故选A.

3.过点A(2，3)且垂直于直线x－2y－5＝0的直线方程为(　　)

A.x－2y＋4＝0  B.2x＋y－7＝0

C.x＋2y－8＝0  D.x－2y＋5＝0

答案　B

解析　过点A(2，3)且垂直于直线x－2y－5＝0的直线的斜率为－2，由点斜式求得直线的方程为y－3＝－2(x－2)，化简可得2x＋y－7＝0，故选B.

4.某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(kg)的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为(　　)

A.20 kg  B.25 kg

C.30 kg  D.80 kg 

答案　C

解析　由图知点A(60，6)，B(80，10)，

由直线方程的两点式，得直线AB的方程是＝，即y＝x－6.

依题意，令y＝0，得x＝30，

即旅客最多可免费携带30 kg行李.故选C.

5.(多选)已知直线l：mx＋y＋1＝0，则下列结论正确的是(　　)

A.直线l恒过定点(0，1)

B.当m＝0时，直线l的斜率不存在

C.当m＝1时，直线l的倾斜角为

D.当m＝2时，直线l的斜率为－2

答案　CD

解析　直线l：mx＋y＋1＝0，令x＝0，得y＝－1，

∴直线l恒过定点(0，－1)，故选项A错误；

当m＝0时，直线l：y＋1＝0，斜率k＝0，故选项B错误；

当m＝1时，直线l：x＋y＋1＝0，斜率k＝－1，倾斜角为，故选项C正确；

当m＝2时，直线l：2x＋y＋1＝0，斜率k＝－2，故选项D正确.故选CD.

6.设直线l1：(a＋1)x＋3y＋2＝0，直线l2：x＋2y＋1＝0.若l1∥l2，则a＝________；若l1⊥l2，则a＝________.

答案　　－7

解析　直线l1：(a＋1)x＋3y＋2＝0，直线l2：x＋2y＋1＝0，分别化为

y＝－x－，y＝－x－.

若l1∥l2，则－＝－，解得a＝.

若l1⊥l2，则－·＝－1，

解得a＝－7.

7.与直线l：y＝x＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l1的方程为________.

答案　y＝x－3

解析　根据题意知直线l的斜率k＝，

故直线l1的斜率k1＝.

设直线l1的方程为y＝x＋b，

则令y＝0，得它在x轴上的截距为－b.

又直线l在y轴上的截距为b，

∴－b＋b＝－b＝1，

∴b＝－3.

∴直线l1的方程为y＝x－3.

8.若点(5，b)在两条平行直线6x－8y＋1＝0与3x－4y＋5＝0之间，则整数b的值为________.

答案　4

解析　设过点(5，b)且与两直线平行的直线的方程为3x－4y＋c＝0，

把点(5，b)的坐标代入直线的方程解得c＝4b－15.

∴过点(5，b)且与两直线平行的直线的方程为3x－4y＋4b－15＝0.

由题意知，直线在y轴上的截距满足<<，∴<b<5.

又b是整数，∴b＝4.

9.三角形的三个顶点坐标分别是A(4，0)，B(6，7)，C(0，3).

(1)求BC边上的高所在直线的方程；

(2)求BC边上的中线所在直线的方程；

(3)求BC边的垂直平分线的方程.

解　(1)∵kBC＝＝，

∴BC边上的高所在直线的斜率为－.

又BC边上的高过点A(4，0)，

∴BC边上的高所在直线的方程为y－0＝－(x－4)，整理得3x＋2y－12＝0.

(2)∵线段BC的中点坐标为(3，5)，

又BC边上的中线过点A(4，0)，

∴BC边上的中线所在直线的方程为＝，整理得5x＋y－20＝0.

(3)∵线段BC的中点坐标为(3，5)，其垂直平分线的斜率为－，

∴BC边的垂直平分线的方程为

y－5＝－(x－3)，

整理得3x＋2y－19＝0.

10.过点P(－1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程.

解　(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；

(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k(k≠0)，

则两条直线的方程分别为

y＝k(x＋1)，y＝kx＋2.

令y＝0，分别得x＝－1，x＝－.

由题意得＝1，即k＝1，

则直线的方程为y＝x＋1，y＝x＋2，

即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.

综上可知，所求的直线方程为

x＝－1与x＝0或x－y＋1＝0与x－y＋2＝0.

二、能力提升

11.若函数f(x)＝asin x－bcos x(ab≠0)对任意的实数x都有f＝f，则直线2ax－by＋c＝0的斜率是(　　)

A.－2  B.2

C.  D.－

答案　A

解析　∵函数f(x)＝asin x－bcos x(ab≠0)满足f＝f，

∴x＝为函数f(x)的图象的对称轴方程，

∴f(0)＝f，

即－b＝a，

∴－＝1，

∴直线2ax－by＋c＝0的斜率为＝－2.

故选A.

12.若光线从点A(－3，4)发出，经过x轴反射，再经y轴反射后过点B(－2，6)，则经y轴反射后的反射光线所在直线的方程为________.

答案　2x＋y－2＝0

解析　∵点A(－3，4)关于x轴的对称点A1(－3，－4)在经过x轴反射的光线的直线上，同样A1(－3，－4)关于y轴的对称点A2(3，－4)在经过y轴反射的光线的直线上，

∴kA2B＝＝－2，

∴所求直线方程为y－6＝－2(x＋2)，

即2x＋y－2＝0.

13.已知垂直于直线3x－4y＋1＝0的直线l与两坐标轴围成的三角形的周长是15，求直线l的方程.

解　直线l与直线3x－4y＋1＝0垂直，则斜率k＝－，

设直线l的方程为y＝－x＋b(b≠0)，

则直线l与x轴的交点坐标为A，与y轴的交点坐标为B(0，b)，

∴AB＝＝.

由题意得＋＋|b|＝15，

即|b|＝5，得b＝±5，

∴直线l的方程为y＝－x±5，即4x＋3y＋15＝0或4x＋3y－15＝0.

三、创新拓展

14.将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相等)的纸折叠一次，使点(2，0)与点(－2，4)重合，点(2 021，2 022)与点(m，n)重合，则m＋n＝(　　)

A.1  B.2 023

C.4 043  D.4 046

答案　C

解析　设A(2，0)，B(－2，4)，则A，B所在直线的斜率为kAB＝＝－1.由题知过点(2 021，2 022)与点(m，n)的直线与直线AB平行，所以＝－1，整理得m＋n＝2 021＋2 022＝4 043.故选C.