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    【最新版】高中数学(新苏教版)习题+同步课件进阶训练4(范围3.1~3.2)

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    进阶训练4(范围3.13.2)

    一、基础达标

    1.已知直线2xy20经过椭圆1(a>b>0)的上顶点与右焦点,则椭圆的方程为(  )

    A.1  B.y21

    C.1  D.1

    答案 A

    解析 由题意,直线2xy20过椭圆1(a>b>0)的上顶点与右焦点,

    可得c1b2,可得a

    所以椭圆的标准方程为1,故选A.

    2.已知双曲线y21(a>0)的离心率是,则a(  )

    A.  B.4

    C.2  D.

    答案 D

    解析 由双曲线方程可得c2a21,则e25,解得a2.又因为a>0,所以a.

    3.已知双曲线的左、右焦点分别F1F2,过点F1的直线与双曲线的左支交于AB两点,线段AB的长为5.2a8,则ABF2的周长是(  )

    A.16  B.18 

    C.21  D.26

    答案 D

    解析 AF2AF12a8BF2BF12a8

    AF2BF2(AF1BF1)16

    AF2BF216521

    ∴△ABF2的周长为AF2BF2AB21526.

    4.(多选)双曲线C与椭圆1有相同的焦距,一条渐近线的方程为x2y0,则双曲线C的标准方程可以为(  )

    A.y21  B.y21

    C.x21  D.x21

    答案 AB

    解析 由题知c.

    设双曲线的方程为x24y2λ(λ0)

    1

    λ5或-(λ)5

    λ4λ=-4.故选AB.

    5.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,MN是双曲线的两顶点,若MON将椭圆的长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是(  )

    A.3  B.2

    C.  D.

    答案 B

    解析 设椭圆与双曲线的标准方程分别为1(a>b>0)

    1(m>0n>0).

    因为它们共焦点,所以设它们的半焦距均为c

    所以椭圆与双曲线的离心率分别为e1e2.

    由点MON将椭圆长轴四等分可知mam,即2ma,所以2.

    6.若方程1表示椭圆,则实数m满足的条件是________.

    答案 m>m1

    解析 由方程1表示椭圆,得

    解得m>m1.

    7.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x21(b>0)经过点(34),则该双曲线的渐近线方程是________.

    答案 y±x

    解析 将点(34)的坐标代入双曲线方程得91(b>0),解得b,则该双曲线的渐近线方程是y±x±x.

    8.若椭圆1(a>b>0)的离心率为,则双曲线1的渐近线方程为________.

    答案 y±x

    解析 因为e,所以设a4kck(k>0),则bk

    所以对应双曲线的渐近线方程为y±x±x.

    9.求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程:

    (1)短轴长等于2,离心率等于的椭圆;

    (2)与椭圆1共焦点,且过点(45)的双曲线.

     (1)由题意可知,短半轴长b,离心率e

    因为a2b2c2,所以a2.

    若焦点在x轴上,则椭圆的标准方程为1

    若焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为1.

    (2)由椭圆1的焦点为(0±3)

    可设双曲线方程为1(0<m<9),将点(45)代入可得1(0<m<9),整理可得,m250m2250.

    解得m5m45(舍去),所以双曲线的标准方程为1.

    10.如图,圆C(x1)2y225及点A(10)Q为圆上一点,线段AQ的垂直平分线交CQ于点M,求点M的轨迹方程.

    解 连接MA(图略).由垂直平分线性质可知MQMA

    CMMACMMQCQ

    CMMA5>2.

    M的轨迹为椭圆,其中2a5,焦点为C(10)A(10)

    ac1

    b2a2c21.

    所求的轨迹方程为1

    1.

    二、能力提升

    11.已知焦点在x轴上的椭圆的方程为1,则m越大,该椭圆的形状(  )

    A.越接近于圆 B.越扁

    C.先接近于圆后越扁 D.先越扁后接近于圆

    答案 A

    解析 设椭圆的离心率为e,由题意得m>14m>m21,即1<m<2,所以e21,则m越大,离心率e越小,所以椭圆越接近于圆,故选A.

    12.已知点P是双曲线1(a>0b>0)上的点,F1F2是其焦点,双曲线的离心率是,且PF1PF2.F1PF2的面积是9,则ab的值为(  )

    A.4  B.5 

    C.6  D.7

    答案 D

    解析 PF1mPF2n

    |mn|2a

    又因为PF1PF2,所以m2n24c2

    2得:-2mn4a24c2

    所以mn=-2a22c2.

    又因为F1PF2的面积是9

    所以mn9,所以c2a29.

    又因为双曲线的离心率

    所以c5a4,所以b3,所以ab7.

    13.如图,已知椭圆1(a>b>0)F1F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.

    (1)F1AB90°,求椭圆的离心率;

    (2)若椭圆的焦距为2,且2,求椭圆的方程.

    解 (1)F1AB90°及椭圆的对称性知bc

    e.

    (2)由已知a2b21F2(10)A(0b),设B(xy)

    (1,-b)(x1y)

    2,即(1,-b)2(x1y)

    解得xy=-,代入1

    1

    解得a23,因此b22

    所以椭圆的方程为1.

    三、创新拓展

    14.已知直线lxym0与双曲线x21交于不同的两点AB,若线段AB的中点在圆x2y25上,则m的值是________.

    答案 ±1

    解析 

    消去yx22mxm220.

    Δ4m24m288m28>0.

    A(x1y1)B(x2y2)

    x1x22my1y2x1x22m4m

    所以线段AB的中点坐标为(m2m),又因为点(m2m)在圆x2y25上,所以5m25,所以m±1.

     

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