【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件进阶训练4(范围3.1～3.2)

进阶训练4(范围3.1～3.2)

一、基础达标

1.已知直线2x＋y－2＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为(　　)

A.＋＝1  B.＋y2＝1

C.＋＝1  D.＋＝1

答案　A

解析　由题意，直线2x＋y－2＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的上顶点与右焦点，

可得c＝1，b＝2，可得a＝＝，

所以椭圆的标准方程为＋＝1，故选A.

2.已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a＝(　　)

A.  B.4

C.2  D.

答案　D

解析　由双曲线方程可得c2＝a2＋1，则e2＝＝＝5，解得a2＝.又因为a>0，所以a＝.

3.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线段AB的长为5.若2a＝8，则△ABF2的周长是(　　)

A.16  B.18 

C.21  D.26

答案　D

解析　∵AF2－AF1＝2a＝8，BF2－BF1＝2a＝8，

∴AF2＋BF2－(AF1＋BF1)＝16，

∴AF2＋BF2＝16＋5＝21，

∴△ABF2的周长为AF2＋BF2＋AB＝21＋5＝26.

4.(多选)双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x－2y＝0，则双曲线C的标准方程可以为(　　)

A.－y2＝1  B.y2－＝1

C.x2－＝1  D.－x2＝1

答案　AB

解析　由题知c＝.

设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，

∴－＝1，

∴λ＋＝5或－＋(－λ)＝5，

∴λ＝4或λ＝－4.故选AB.

5.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是(　　)

A.3  B.2

C.  D.

答案　B

解析　设椭圆与双曲线的标准方程分别为＋＝1(a>b>0)，

－＝1(m>0，n>0).

因为它们共焦点，所以设它们的半焦距均为c，

所以椭圆与双曲线的离心率分别为e1＝，e2＝.

由点M，O，N将椭圆长轴四等分可知m＝a－m，即2m＝a，所以＝＝＝2.

6.若方程＋＝1表示椭圆，则实数m满足的条件是________.

答案　m>且m≠1

解析　由方程＋＝1表示椭圆，得

解得m>且m≠1.

7.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________.

答案　y＝±x

解析　将点(3，4)的坐标代入双曲线方程得9－＝1(b>0)，解得b＝，则该双曲线的渐近线方程是y＝±x＝±x.

8.若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为________.

答案　y＝±x

解析　因为e＝＝，所以设a＝4k，c＝k(k>0)，则b＝k，

所以对应双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.

9.求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：

(1)短轴长等于2，离心率等于的椭圆；

(2)与椭圆＋＝1共焦点，且过点(4，5)的双曲线.

解　(1)由题意可知，短半轴长b＝，离心率e＝＝，

因为a2＝b2＋c2，所以a＝2.

若焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为＋＝1；

若焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)由椭圆＋＝1的焦点为(0，±3)，

可设双曲线方程为－＝1(0<m<9)，将点(4，5)代入可得－＝1(0<m<9)，整理可得，m2－50m＋225＝0.

解得m＝5或m＝45(舍去)，所以双曲线的标准方程为－＝1.

10.如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1，0)，Q为圆上一点，线段AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程.

解　连接MA(图略).由垂直平分线性质可知MQ＝MA，

∴CM＋MA＝CM＋MQ＝CQ，

∴CM＋MA＝5>2.

∴点M的轨迹为椭圆，其中2a＝5，焦点为C(－1，0)，A(1，0)，

∴a＝，c＝1，

∴b2＝a2－c2＝－1＝.

∴所求的轨迹方程为＋＝1，

即＋＝1.

二、能力提升

11.已知焦点在x轴上的椭圆的方程为＋＝1，则m越大，该椭圆的形状(　　)

A.越接近于圆 B.越扁

C.先接近于圆后越扁 D.先越扁后接近于圆

答案　A

解析　设椭圆的离心率为e，由题意得m>1且4m>m2－1，即1<m<2＋，所以e2＝＝1＋，则m越大，离心率e越小，所以椭圆越接近于圆，故选A.

12.已知点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且PF1⊥PF2.若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值为(　　)

A.4  B.5 

C.6  D.7

答案　D

解析　设PF1＝m，PF2＝n，

则|m－n|＝2a，①

又因为PF1⊥PF2，所以m2＋n2＝4c2，②

①2－②得：－2mn＝4a2－4c2，

所以mn＝－2a2＋2c2.

又因为△F1PF2的面积是9，

所以mn＝9，所以c2－a2＝9.

又因为双曲线的离心率＝，

所以c＝5，a＝4，所以b＝3，所以a＋b＝7.

13.如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.

(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；

(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程.

解　(1)由∠F1AB＝90°及椭圆的对称性知b＝c，

则e＝＝＝＝.

(2)由已知a2－b2＝1，F2(1，0)，A(0，b)，设B(x，y)，

则＝(1，－b)，＝(x－1，y)，

由＝2，即(1，－b)＝2(x－1，y)，

解得x＝，y＝－，代入＋＝1，

得＋＝1，

解得a2＝3，因此b2＝2，

所以椭圆的方程为＋＝1.

三、创新拓展

14.已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值是________.

答案　±1

解析　由

消去y得x2－2mx－m2－2＝0.

Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，

所以线段AB的中点坐标为(m，2m)，又因为点(m，2m)在圆x2＋y2＝5上，所以5m2＝5，所以m＝±1.