【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件进阶训练9(范围5.3.1～5.3.3)

进阶训练9(范围5.3.1～5.3.3)

一、基础达标

1.已知函数f(x)＝x2－x，则函数f(x)的单调递增区间是(　　)

A.(－∞，－1)和(0，＋∞)

B.(0，＋∞)

C.(－1，0)和(1，＋∞)

D.(1，＋∞)

答案　D

解析　法一　f(x)＝x2－x＝(x－1)2－，对应的抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，可知函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞).

法二　易知f(x)的定义域为R，f′(x)＝x－1，令f′(x)>0，解得x>1，

故函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞).

2.若函数f(x)＝－cos x＋ax为增函数，则实数a的取值范围为(　　)

A.[－1，＋∞)  B.[1，＋∞)

C.(－1，＋∞)  D.(1，＋∞)

答案　B

解析　由题意可得：f′(x)＝sin x＋a≥0恒成立，故a≥－sin x恒成立，所以a≥1.

3.(多选)如图所示，函数f(x)的导函数的图象是一条直线l，则(　　)

A.函数f(x)有最大值

B.函数f(x)没有最大值

C.函数f(x)有最小值

D.函数f(x)没有最小值

答案　BC

解析　由导函数图象可知，函数只有一个极小值点，且函数在此处取得最小值，没有最大值.

4.(多选)定义在区间上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)

A.函数f(x)在区间(0，4)上是增函数

B.函数f(x)在区间上是减函数

C.函数f(x)在x＝1处取得极大值

D.函数f(x)在x＝0处取得极小值

答案　ABD

解析　根据导函数图象可知，f(x)在区间上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间(0，4)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝0处取得极小值，没有极大值，所以A，B，D选项正确，C选项错误.

5.已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的正数a，b，若a<b，则必有(　　)

A.bf(b)≤af(a)  B.bf(a)≤af(b)

C.af(a)≤bf(b)  D.af(b)≤bf(a)

答案　A

解析　设g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，

则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)≤0，

∴g(x)在区间(0，＋∞)上单调递减或g(x)为常函数.

∵a<b，∴g(a)≥g(b)，

即af(a)≥bf(b)，故选A.

6.已知函数f(x)＝在区间

(a>0)上存在极值，则实数a的取值范围是________.

答案　

解析　f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝1，当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以x＝1是函数f(x)的极大值点.又函数f(x)在区间(a>0)上存在极值，所以a<1<a＋，解得<a<1，即实数a的取值范围是.

7.若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________.

答案　－3

解析　f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)·(a∈R).

当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝1，所以此时f(x)在(0，＋∞)内无零点，不满足题意.

当a>0时，由f′(x)>0得x>，由f′(x)<0得0<x<，则f(x)在上单调递减，在上单调递增，又f(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，所以f＝－＋1＝0，得a＝3，所以f(x)＝2x3－3x2＋1，则f′(x)＝6x(x－1)，当x∈(－1，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(0，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，则f(x)max＝f(0)＝1，又f(－1)＝－4，f(1)＝0，则f(x)min＝－4，所以f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为－3.

8.已知函数f(x)＝px－－2ln x，若f(x)在定义域内为增函数，则实数p的最小值为________；若p>0，在[1，e]上至少存在一点x0，使得f(x0)>成立，则实数p的取值范围为________.

答案　1　

解析　∵函数f(x)＝px－－2ln x，

x∈(0，＋∞)，

∴f′(x)＝p＋－＝.

要使f(x)在定义域(0，＋∞)内为增函数，只需f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即px2－2x＋p≥0在(0，＋∞)上恒成立，即p≥在(0，＋∞)上恒成立.∵＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，∴p≥1，

∴实数p的最小值为1.

由题意，知不等式f(x)>在[1，e]上有解.设F(x)＝f(x)－＝px－－2ln x－，x∈[1，e]，

∴F′(x)＝p＋－＋＝>0，∴函数F(x)在[1，e]上单调递增，∴F(x)max＝F(e)＝－4>0，解得p>，

∴实数p的取值范围为.

9.在①f(x)在x＝1处取得最小值2，②f(x)在x＝－1处取得极大值6，③f(x)的极大值为6，极小值为2这三个条件中任选一个填在下面的横线上，并解答.

已知函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)，且________，求f(x)的单调区间.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解　答案一　若选条件①：

易知f′(x)＝3x2－3a，

由得

所以f(x)＝x3－3x－4，

f′(x)＝3x2－3，x∈R.

令f′(x)>0，得x<－1或x>1，

令f′(x)<0，得－1<x<1.

所以f(x)的单调递减区间为(－1，1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞).

答案二　若选条件②；

易知f′(x)＝3x2－3a，

由得

所以f(x)＝x3－3x＋4，

f′(x)＝3x2－3，x∈R.

令f′(x)>0，得x<－1或x>1，

令f′(x)<0，得－1<x<1.

所以f(x)的单调递减区间为(－1，1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞).

答案三　若选条件③：

易知f′(x)＝3x2－3a，x∈R.

令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±，

则f(x)，f′(x)随x的变化情况如表所示：

所以

解得

所以f(x)的单调递减区间为(－1，1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞).

10.已知函数f(x)＝x＋，其中a∈R，e是自然对数的底数.

(1)当a＝－1时，求函数f(x)在区间[0，＋∞)上的零点个数；

(2)若f(x)>2对任意的实数x恒成立，求a的取值范围.

解　(1)当a＝－1时，f(x)＝x－，

则f′(x)＝1＋>0，

∴f(x)在[0，＋∞)上是增函数，

又f(0)＝－1<0，f(1)＝1－>0，

故∃x0∈(0，1)，使得f(x0)＝0，

∴函数f(x)在区间[0，＋∞)上有1个零点.

(2)若f(x)>2对任意的实数x恒成立，

即a>ex(2－x)恒成立，

令g(x)＝ex(2－x)，则a>g(x)max.

又g′(x)＝ex(1－x)，

令g′(x)>0，得x<1；

令g′(x)<0，得x>1，

∴g(x)在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，

∴g(x)max＝g(1)＝e，

∴a的取值范围为(e，＋∞).

二、能力提升

11.已知常数a，b，c都是实数，f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34的导函数为f′(x)，f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}.若f(x)的极小值为－115，则a的值是(　　)

A.－  B.

C.2  D.5

答案　C

解析　依题意，得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≤0的解集是{x|－2≤x≤3}，

于是有3a>0，－2＋3＝－，－2×3＝，

所以b＝－，c＝－18a，

函数f(x)在x＝3处取极小值，

所以f(3)＝27a＋9b＋3c－34＝－115，

故－a＝－81，解得a＝2，故选C.

12.设函数f(x)＝ex－2aex－x，若不等式f(x)≤0在[－2，＋∞)上有解，则实数a的最小值为(　　)

A.－－  B.－－

C.－－  D.－1－

答案　C

解析　∵f(x)＝ex－2aex－x≤0在[－2，＋∞)上有解，

∴a≥x3＋x2－3x＋1－在[－2，＋∞)上有解.

令g(x)＝x3＋x2－3x＋1－，

则g′(x)＝x2＋x－3＋＝(x－1)·，故当x∈[－2，1)时，g′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故g(x)在[－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故g(x)min＝g(1)＝＋－3＋1－＝－－，则实数a的最小值为－－，故选C.

13.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：m)，其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为 m3，且l≥2r，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱部分每平方米的建造费用为3万元，半球形部分每平方米的建造费用为c(c>3)万元，该容器的总建造费用为y万元.

(1)写出y关于r的函数表达式，并求出该函数的定义域；

(2)求该容器的总建造费用最少时的r的值.

解　(1)设容器的容积为V，由题意，知V＝πr2l＋πr3.又V＝，故l＝＝－＝.

由于l≥2r，因此0<r≤2，

所以y＝2πrl·3＋4πr2c＝2πr···3＋4πr2c＝4π(c－2)r2＋，其定义域为(0，2].

(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－＝，0<r≤2.

由于c>3，所以c－2>0.

当r3－＝0时，r＝.

令＝m，则m>0，

所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2).

①当0<m<2，即c>时，

若r＝m，则y′＝0；若r∈(0，m)，则y′<0；

若r∈(m，2]，则y′>0.

所以r＝m是该函数的极小值点，也是最小值点.

②当m≥2，即3<c≤时，若r∈(0，2]，则y′≤0(仅当r＝2时，y′＝0)，所以函数单调递减，所以r＝2是该函数的最小值点.

综上所述，当3<c≤时，总建造费用最少时r＝2；当c>时，总建造费用最少时r＝.

三、创新拓展

14.已知三次函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a，b，c∈R)过点(3，0)，且函数f(x)在点(0，f(0))处的切线恰好是直线y＝0.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设函数g(x)＝9x＋m－1，若函数y＝f(x)－g(x)在区间[－2，1]上有两个零点，求实数m的取值范围.

解　(1)f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由已知条件得，

解得b＝－3，c＝d＝0，

所以f(x)＝x3－3x2.

(2)由已知条件得，f(x)－g(x)＝x3－3x2－9x－m＋1在[－2，1]上有两个不同的零点，可转化为y＝m与y＝x3－3x2－9x＋1的图象有两个不同的交点.

令h(x)＝x3－3x2－9x＋1，

则h′(x)＝3x2－6x－9，x∈[－2，1]，

令h′(x)>0得－2≤x＜－1；

令h′(x)<0得－1＜x≤1.

所以h(x)max＝h(－1)＝6，

又h(－2)＝－1，h(1)＝－10，

所以h(x)min＝－10.

数形结合，可知要使y＝m与y＝x3－3x2－9x＋1的图象有两个不同的交点，

则－1≤m＜6.

故实数m的取值范围是[－1，6).